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Mathematik in der Oberstufe

Nullstellenform der Parabel

An der Scheitelform kann man den Scheitelpunkt ablesen, an der allgemeinen Form den $y$-Achsenabschnitt. Gibt es auch eine Form, an der man die Nullstellen ablesen kann? Ja, gibt es, nämlich die Nullstellenform oder Linearfaktorzerlegung – natürlich nur dann, wenn die Parabel die $x$-Achse schneidet.

Motivation

In einem Spezialfall haben Sie die Nullstellenform bereits gesehen: wenn eine Parabel die Gleichung $f(x)=a(x-x_s)^2$ hat, so liegt ihr Scheitel auf der $x$-Achse: $S(x_s|0)$. Die – doppelte – Nullstelle liegt also bei $x=x_s$.

Schreiben wir das Quadrat als Produkt von zwei gleichen Faktoren, so lautet die Gleichung $f(x)=a(x-x_s)(x-x_s)$. Was passiert nun, wenn wir statt $x_s$ in beiden Klammern zwei verschiedene Zahlen wählen?

In der folgenden Grafik sind in der Ausgangslage beide Zahlen identisch; durch Ziehen am roten Punkt in Richtung der $x$-Achse werden zwei daraus, die dann beide verschoben werden können. Zusätzlich kann der Streckfaktor mithilfe des Schiebereglers verändert werden. Beobachten Sie, wie sich die Gleichung verändert.

Nehmen wir als Beispiel die Funktion mit der Gleichung $f(x)=\frac 12(x-4)(x+3)$. Laut Graph (ziehen Sie die Punkte dorthin) müssten die Nullstellen bei $x_1=4$ und $x_2=-3$ liegen. Wir setzen zur Probe ein:

$f(4)=\frac 12\cdot (4-4)\cdot (4+3)=\frac 12\cdot \color{#f00}{0}\cdot 7=\color{#f00}{0}\;\checkmark$

$f(-3)=\frac 12\cdot (-3-4)\cdot (-3+3)=\frac 12\cdot (-7)\cdot \color{#b1f}{0}=\color{#b1f}{0}\;\checkmark$

Einer der beiden Faktoren ist Null, sodass das Produkt Null ergibt. Das gilt – zumindest in der Schule – auch umgekehrt: ist ein Produkt Null, so ist mindestens einer der Faktoren Null (oft Satz vom Nullprodukt genannt). Auch ohne Graph lassen sich daher die Nullstellen ermitteln:

$\begin{align*}\tfrac 12(x-4)(x+3)&=0&&|:\tfrac 12\;\text{ bzw. }\; \cdot 2\\ (x-4)(x+3)&=0\\x-4&=0 && |+4\qquad \text{ oder }\; &x+3&=0&&|-3\\x_1&=4&&&x_2&=-3\end{align*}$

Wenn wir das Verfahren auf die verallgemeinerte Gleichung $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ anwenden, so erhalten wir entsprechend $x=x_1$ und $x=x_2$ als Lösungen.

Die Darstellung \[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) \quad (a\not= 0)\] einer quadratischen Funktion heißt Nullstellenform, Nullstellengleichung oder Linearfaktordarstellung. Die Werte $x_1$ und $x_2$ sind die Nullstellen der Funktion. Die zugehörige Parabel schneidet die $x$-Achse in den Punkten $N_1(x_1|0)$ und $N_2(x_2|0)$.

Die Terme $x-x_1$ bzw. $x-x_2$ heißen Linearfaktoren, weil in ihnen die Variable $x$ nur in erster Potenz – also linear – vorkommt ($x=x^1$).

Damit kann man nun die Nullstellen einer quadratischen Funktion einfach ablesen, wenn sie in Linearfaktordarstellung gegeben ist:

$f(x)=3(x+2)(x-\frac 43)\;\Rightarrow\; x_1=-2;\;x_2=\frac 43$

$f(x)=-\frac 34(x+3)^2\;\Rightarrow\; x_{1,2}=-3$

$f(x)=-2x(x-5)\;\Rightarrow\; x_1=0;\; x_2=5$.
Die erste Nullstelle ergibt sich aus der Darstellung $f(x)=-2\cdot x(x-5)=-2(x-0)(x-5)$.

Von den Nullstellen zur Nullstellenform

Neben den Nullstellen muss eine weitere Angabe vorliegen, aus der sich der Streckfaktor ermitteln lässt. Auf dieser Seite gehe ich davon aus, dass der Streckfaktor unmittelbar gegeben ist. (Für andere Fälle siehe hier.)

Beispiel 1: Eine quadratische Funktion hat Nullstellen bei $x_1=2$ und $x_2=-3$. Die zugehörige Parabel hat die Form einer nach unten geöffneten Normalparabel. Wie lautet ihre Gleichung?

Lösung: Die Linearfaktoren sind $x-x_1=x-2$ und $x-x_2=x-(-3)=x+3$. Der Streckfaktor ist $a=-1$. Damit hat die Parabel die Gleichung $f(x)=-(x-2)(x+3)$.

Von der Nullstellenform zur allgemeinen Form

In der Grafik war neben der Nullstellengleichung stets auch die allgemeine Form (Polynomform) angegeben. Wir wählen die Funktion von oben.

Beispiel 2: Die Gleichung $f(x)=\tfrac 12(x-4)(x+3)$ soll in allgemeiner Form angegeben werden.

Lösung: Die Polynomform entsteht durch Ausmultiplizieren.

$\begin{align*}f(x)&=\tfrac 12(x-4)(x+3)\\&=\tfrac 12(x^2+3x-4x-12)\\&=\tfrac 12(x^2-x-12)&&| \text{* s.u.}\\f(x)&=\tfrac 12x^2-\tfrac 12x-6\end{align*}$

Sie können die Klammern auch in anderer Reihenfolge auflösen:

$\begin{align*}f(x)&=\tfrac 12(x-4)(x+3)\\&=\left(\tfrac 12x-2\right)(x+3)\\&=\tfrac 12x^2+\tfrac 32x-2x-6\\f(x)&=\tfrac 12x^2-\tfrac 12x-6\end{align*}$

Die zweite Variante ist ungünstiger, und das nicht nur wegen der frühzeitig auftretenden Brüche. Sollen Sie nämlich die Parabel mithilfe der quadratischen Ergänzung in Scheitelform angeben, so ist die Form * (s.o.) die beste Ausgangslage.

Von der allgemeinen Form zur Nullstellengleichung

Aus der allgemeinen Form ermittelt man die Nullstellenform, indem man zunächst die Nullstellen berechnet.

Beispiel 3: Die Funktionsgleichung $f(x)=-2x^2+6x+8$ soll in Linearfaktordarstellung angegeben werden.

Lösung: Wir berechnen die Nullstellen:

$\begin{align*}-2x^2+6x+8&=0&&|:(-2)\\ x^2-3x-4&=0&&|pq\text{-Formel}\\x_{1,2}&=\tfrac 32\pm \sqrt{\left(\tfrac 32\right)^2+4}\\&=\tfrac 32\pm \sqrt{\tfrac{25}{4}}\\x_1&=\tfrac 32+\tfrac 52=4\\x_2&=\tfrac 32-\tfrac 52=-1\end{align*}$

Die Linearfaktoren sind somit $x-4$ und $x-(-1)=x+1$. Da die Parabel mit dem Faktor $a=-2$ gestreckt ist, erhalten wir als Nullstellengleichung $f(x)=-2(x-4)(x+1)$.

Beispiel 4: Gesucht ist die Linearfaktordarstellung von $f(x)=\frac 12x^2+2x+2$.

Lösung: Wir berechnen die Nullstellen:

$\begin{align*}\tfrac 12x^2+2x+2&=0&&|:\tfrac 12\text{ bzw. }\cdot 2\\x^2+4x+4&=0&&|pq\text{-Formel}\\x_{1,2}&=-\tfrac 42\pm \sqrt{\left(\tfrac 42\right)^2-4}\\x_1&=-2\\x_2&=-2\end{align*}$

Beide Lösungen stimmen überein, und die Nullstellengleichung lautet $f(x)=\tfrac 12(x+2)(x+2)=\tfrac 12(x+2)^2$.

Nicht jede quadratische Funktion lässt sich als Nullstellengleichung schreiben. Die Funktion $f(x)=x^2+2x+2$ hat keine Nullstellen und lässt sich daher nicht faktorisieren.

Nullstellenform bei nicht ganzzahligen Nullstellen

Wie gibt man die Nullstellenform an, wenn man bei der Lösung der Gleichung „krumme“ Werte erhält, also Brüche oder gar Wurzeln (irrationale Zahlen)?

Brüche sollte man immer stehen lassen. Bei Wurzeln ist das nicht ganz so eindeutig und hängt von der Schule ab, die man besucht: an Fachoberschulen wird man eher die gerundeten Werte verwenden, an Gymnasien eher die exakten Werte. Schauen wir uns zwei Beispiele an (die Nullstellenberechnung führe ich nicht mehr vor).

Beispiel 5: Die Funktion $f(x)=3x^2-8x+4$ hat die Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=\tfrac 23$. Als Nullstellengleichung wird man auf jeden Fall $f(x)=3(x-2)\left(x-\tfrac 23\right)$ angeben.

Beispiel 6: Die Funktion $f(x)=-x^2+2x+2$ hat die Nullstellen $x_1=1+\sqrt{3}\approx 2{,}73$ und $x_2=1-\sqrt{3}\approx -0{,}73$.

Verwendung der gerundeten Werte:
$f(x)=-(x-2{,}73)(x+0{,}73)$

Verwendung der exakten Werte:
Die Linearfaktoren lauten $x-(1+\sqrt{3})=x-1-\sqrt{3}$ und $x-(1-\sqrt{3})=x-1+\sqrt{3}$. Die Nullstellengleichung ist daher $f(x)=-(x-1-\sqrt{3})(x-1+\sqrt{3})$.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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