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Mathematik in der Oberstufe

Aufgaben zur Lage zweier Parabeln

Die Aufgaben beziehen sich auf den Artikel Lage zweier Parabeln.

Wer jeden Typ nur einmal durchrechnen möchte, bearbeitet die Aufgaben 1a)-e) und die Anwendungsaufgabe 3. Wer mehr Übung gerade im Rechnen benötigt, bearbeitet die ganze 1 und 2. Die letzten drei Aufgaben dienen der Vertiefung.

  1. Untersuchen Sie, ob sich die Parabeln schneiden oder berühren. Geben Sie die Koordinaten gemeinsamer Punkte an.
    1. $f(x)=x^2-x+1 \quad g(x)=\tfrac 12 x^2+x-\tfrac 12$
    2. $f(x)=(x+4)^2 \quad g(x)=x^2+5x-14$
    3. $f(x)= 2x^2+4x \quad g(x)=x^2-5$
    4. $f(x)= -\tfrac{1}{80} (x-120)^2+180 \quad g(x)=-\tfrac{1}{80}x^2+3x$
    5. $f(x)= 2(x+1)^2 \quad g(x)=x^2-x-4{,}25$
    6. $f(x)= x^2+4x+3 \quad g(x)=-x^2+2x+3$
    7. $f(x)= -\tfrac 12 x^2+2x+16 \quad g(x)=-\tfrac 18 (x-8)^2$
  2. Gehen Sie wie in Aufgabe 1 vor.
    1. $f(x)= 2x^2-2 \quad g(x)=-x^2-5x$
    2. $f(x)= 2x^2+10x \quad g(x)=x^2-25$
    3. $f(x)= \tfrac 94 \left(x+\tfrac 23\right)^2-2 \quad g(x)=2{,}25 x^2+3x-1$
    4. $f(x)= x^2-4x+4 \quad g(x)=-(x-3)^2$
    5. $f(x)= 0{,}4x^2-0{,}8x+2 \quad g(x)=\tfrac 25 x^2+x-7$
  3. Bei einem Springbrunnen folgen die Wasserstrahlen näherungsweise einem parabelförmigen Weg. In einer Anlage finden sich versetzt zwei Strahlen wie abgebildet.
    Zwei Wasserstrahlen als Parabeln
    Die Wasserstrahlen können durch die Gleichungen $f(x)=-\tfrac 14 x^2+\tfrac 74 x$ und $g(x)=-\tfrac 18 x^2+\tfrac 54 x-2$ beschrieben werden. Dabei entspreche die $x$-Achse dem Erdboden. ($x$ und $y$ jeweils in Meter)
    1. Ordnen Sie die Funktionsgleichungen den Parabeln $p_1$ und $p_2$ zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung.
    2. Berechnen Sie, in welcher horizontalen Entfernung vom Austrittspunkt $A$ die beiden Wasserstrahlen aufeinandertreffen.
    3. In welcher Höhe über dem Erdboden treffen die beiden Strahlen aufeinander?
  4. Gegeben sind die Parabelgleichungen $f(x)=\tfrac 12 (x+1)^2$ und $g(x)=-\tfrac 12 (x-3)^2+8$.
    1. Geben Sie die Scheitelpunkte der beiden Parabeln an.
    2. Weisen Sie nach, dass sich die beiden Parabeln in den beiden Scheitelpunkten schneiden.
  5. Begründen Sie anschaulich, dass sich die Graphen von $f(x)=(x-1)^2-4$ und $g(x)=2(x-1)^2-4$ in einem Punkt berühren. Geben Sie die Koordinaten des Berührpunkts an.
  6. In einer Klausur findet sich folgende Aufgabe:
    Gegeben sind die Parabeln mit den Gleichungen $f(x)=x^2-4x+10$ und $g(x)=\tfrac 12 x^2+2x-8$. Weisen Sie nach, dass sich die Parabeln im Punkt $B(6|22)$ berühren.
    Ein Schüler rechnet:
    $\begin{align*} f(6)&=6^2-4\cdot 6+10=36-24+10=22=y_B\\ g(6)&=\tfrac 12 \cdot 6^2+2\cdot 6-8=18+12-8=22=y_B\\ \end{align*}$
    und schließt daraus, dass sich die Parabeln im vorgegebenen Punkt berühren.
    Wird der Schüler die volle Punktzahl bekommen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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