Impressum Datenschutz

Mathematik in der Oberstufe

Gestreckte und verschobene Parabel: Scheitelform und allgemeine Form

Auf dieser Seite wird die Streckung der Normalparabel mit ihrer Verschiebung kombiniert. Die Gleichung wird in allgemeiner Form und in Scheitelform angegeben und ihre Umwandlung beschrieben. Dem Aufstellen der Parabel mithilfe des Scheitelpunktes und eines weiteren Punktes ist ein gesonderter Artikel gewidmet.

Gleichung der gestreckten und verschobenen Normalparabel

Die Normalparabel (hellgrau) wird erst gestreckt (orange) und dann verschoben (blau). Den Streckfaktor können Sie mithilfe des Schiebereglers verändern, den Scheitelpunkt können Sie direkt an eine andere Stelle ziehen.

Beim Strecken geht die Funktionsgleichung zunächst von $f_1(x)=x^2$ in $f_2(x)=ax^2$ über. Durch das Verschieben erhalten wir die endgültige Funktionsgleichung $f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$.

Bei der mit dem Faktor $a$ gestreckten Parabel hatten wir gesehen, dass sie stets durch den Punkt $P(1|a)$ geht. Für die verschobene Parabel lässt sich das so übertragen: geht man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts oder links, so geht man $a$ Einheiten in Richtung der $y$-Achse (als orangefarbener Pfeil eingezeichnet), um einen weiteren Punkt zu erhalten. Geht man vom Scheitelpunkt aus zwei Einheiten nach rechts oder links, so geht man $4a$ Einheiten in Richtung der $y$-Achse. Auf diese Weise können Sie eine Parabel recht einfach ohne Wertetabelle skizzieren.

Die mit dem Faktor $a$ gestreckte Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ hat in Scheitelpunktform die Gleichung \[f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\;.\]

Sind von einer Parabel also der Streckfaktor (Öffnungsfaktor) und der Scheitel bekannt, so muss man nur in die Formel einsetzen, um ihre Gleichung in Scheitelform zu erhalten.

Von der Scheitelform zur allgemeinen Form

Von der Scheitelform kommen wir zur allgemeinen Form, indem wir die binomische Formel anwenden und ausmultiplizieren (Potenzrechnung vor Punktrechnung).

Beispiel 1: Gesucht ist die allgemeine Form der Parabel mit der Gleichung $f(x)=0{,}5(x-4)^2-2$.

Lösung: Wir lösen wie oben beschrieben mithilfe der zweiten binomischen Formel auf:

$\begin{align*}f(x)&=0{,}5(x-4)^2-2\\&=0{,}5(x^2-8x+16)-2\\&=0{,}5x^2-4x+8-2\\ f(x)&=0{,}5x^2-4x+6\end{align*}$

Beispiel 2: Die Normalparabel wird mit dem Faktor 2 gestreckt, an der $x$-Achse gespiegelt, um drei Einheiten nach links und eine Einheit nach oben verschoben. Wie heißt ihre Gleichung in allgemeiner Form?

Lösung: Da die Parabel nicht nur gestreckt, sondern auch gespiegelt ist, ist der Faktor negativ: $a=\color{#18f}{-2}$. Die Verschiebungen ergeben die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(\color{#f00}{-3}|\color{#1a1}{1})$. Wir können also die Scheitelpunktform angeben und diese wie oben in die allgemeine Form verwandeln. Dabei kommt die erste binomische Formel zum Einsatz.

$\begin{align*}f(x)&=\color{#18f}{-2}(x+\color{#f00}{3})^2+\color{#1a1}{1}\\&=-2(x^2+6x+9)+1\\&=-2x^2-12x-18+1\\f(x)&=-2x^2-12x-17\end{align*}$

Von allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Für den umgekehrten Weg wird wie bei der verschobenen Normalparabel die quadratische Ergänzung (halbieren – quadrieren – addieren und subtrahieren, siehe hier) benötigt. Der Streckfaktor wird dafür zunächst ausgeklammert.

Beispiel 3: Gesucht ist der Scheitel der Parabel mit der Gleichung $f(x)=-3x^2+30x-63$.

Lösung: Nach dem Ausklammern gehen wir innerhalb der Klammer wie bei der Normalparabel vor:

$\begin{align*}f(x)&=-3x^2+30x-63\\&=-3\left[x^2-10x+21\right]\\&=-3\left[x^2-10x+\left(\tfrac{10}{2}\right)^2-\left(\tfrac{10}{2}\right)^2+21\right]\\&=-3\left[(x-5)^2-25+21\right]\\&=-3\left[(x-5)^2-4\right]\\f(x)&=-3(x-5)^2+12\end{align*}$

Nun kann der Scheitelpunkt abgelesen werden: $S(5|12)$.

Den Faktor $-3$ kann man nur in die eckige Klammer hineinziehen, nicht jedoch in die runde Klammer, da Potenzrechnung (in diesem Fall das Quadrat) stärker bindet als Punktrechnung. Der Rechenweg kann auch knapper ausfallen.

Beispiel 4: Gesucht ist der Scheitel der Parabel mit der Gleichung $f(x)=\frac 13x^2+4x+9$.

Lösung: Mit etwas weniger Rechenschritten sieht es so aus:

$\begin{align*}f(x)&=\tfrac 13x^2+4x+9\\&=\tfrac 13\big[x^2+12x+\underbrace{6^2-36}_{\text{qu. Erg.}}+27\big]\\&=\tfrac 13\left[(x+6)^2-9\right]\\ f(x)&=\tfrac 13(x+6)^2-3\end{align*}$

Der Scheitelpunkt liegt also bei $S(-6|-3)$.

Wenn Ihnen diese Schreibweise zu knapp ist, behalten Sie den ausführlichen Rechenweg bei.

Variante: An einigen Schulen dividiert man durch den Streckfaktor, statt ihn auszuklammern, und multipliziert am Schluss wieder mit ihm. Für das obere Beispiel sieht das dann (bei leicht abgekürzter quadratischer Ergänzung) wie folgt aus:

$\begin{align*}f(x)&=-3x^2+30x-63&&|:(-3)\\ \dfrac{f(x)}{-3}&=x^2-10x+21\\ \dfrac{f(x)}{-3}&=x^2-10x+5^2-25+21\\ \dfrac{f(x)}{-3}&=(x-5)^2-4&&|\cdot (-3)\\ f(x)&=-3(x-5)^2+12\end{align*}$

Die Multiplikation am Schluss darf nicht vergessen werden, da man sonst nicht die Koordinaten des Scheitelpunktes erhält. Es ist nicht notwendig, den Ausdruck $\frac{f(x)}{-3}$ „schöner“ zu schreiben, da der Streckfaktor am Schluss originalgetreu wieder auf die andere Seite wandert.

Versteckte Formulierungen

Sie werden nicht immer die unmittelbare Aufforderung erhalten, die allgemeine Form einer Parabel in Scheitelform umzuwandeln. Immer dann, wenn nach einem größten oder kleinsten Wert gefragt ist, sollten Sie allerdings daran denken.

Beschreibt die Parabel beispielsweise einen Brückenbogen oder einen Ballwurf, so läuft die Frage nach der Höhe der Brücke oder der maximalen Höhe des Balls auf die Bestimmung des Scheitels hinaus.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

Teilen Info Bei den "Teilen"-Schaltflächen handelt es sich um rein statische Verlinkungen, d.h. sie senden von sich aus keinerlei Daten an die entsprechenden sozialen Netzwerke. Erst wenn Sie einen Link anklicken, öffnet sich die entsprechende Seite.

Werbung

.