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Mathematik in der Oberstufe

Lösungen: Nullstellengleichung der Parabel

  1. Nullstellen angeben; Funktionsgleichung in allgemeiner Form (Polynomform)
    1. $x_1=-2$; $x_2=5$
      $f(x)=3(x^2\underbrace{-5x+2x}_{-3x}-10)=3x^2-9x-30$
    2. $x_1=6$; $x_2=-6$
      $f(x)=-(x^2-36)=-x^2+36$ (dritte binomische Formel)
    3. $x_{1,2}=4$
      $f(x)=x^2-8x+16$ (zweite binomische Formel)
    4. $x_1=-10$; $x_2=-20$
      $f(x)=-\frac 12(x^2\underbrace{+20x+10x}_{+30x}+200)= -\frac 12 x^2-15x-100$
  2. Gleichung der quadratischen Funktion gesucht
    Verlangt war nur eine Gleichung, also zum Beispiel die Nullstellenform (hier am einfachsten). Ich habe zusätzlich die Polynomform angegeben.
    1. Normalparabel $\Rightarrow a=1$
      $f(x)=(x-4)(x+2)=x^2-2x-8$
    2. $a=2;x_{1,2}=-2$. Da die Parabel die $x$-Achse nur an der Stelle $x=-2$ schneidet, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle.
      $f(x)=2(x+2)^2=2x^2+8x+8$
    3. $a=-\frac 12;x_1=0;x_2=6$. Wenn eine Parabel durch den Ursprung geht, liegt eine Nullstelle bei 0.
      $f(x)=-\frac 12x(x-6)=-\frac 12x^2+3x$
  3. Gleichung der Parabel in Nullstellenform (wenn möglich)
    1. $a=1;x_1=4;x_2=3$
      $f(x)=(x-4)(x-3)$
    2. $a=\frac 12;x_1=-4;x_2=3$
      $f(x)=\frac 12(x+4)(x-3)$
    3. Keine Nullstellen vorhanden. Die Funktion lässt sich nicht in Linearfaktordarstellung schreiben.
    4. $a=-\frac 16;x_{1,2}=6$
      $f(x)=-\frac 16(x-6)^2$
    5. $a=2;x_1=0;x_2=-1$
      $f(x)=2x(x+1)$
      Hier ist auch ein direktes Faktorisieren ohne vorherige Berechnung der Nullstellen möglich. Der Streckfaktor muss auf jeden Fall ausgeklammert werden.
      $f(x)=2x^2+2x=2\cdot (x^2+x)=2\cdot x\cdot (x+1)=2x(x+1)$
    6. $a=\frac 13;x_1=3;x_2=-3$
      $f(x)=\frac 13(x-3)(x+3)$
      Hier ist ebenfalls direktes Faktorisieren möglich, indem man zunächst den Streckfaktor ausklammert und dann die dritte binomische Formel verwendet:
      $f(x)=\frac 13(x^2-9)=\frac 13(x-3)(x+3)$
    7. $a=4;x_1=-\frac 12;x_2=-\frac 32$
      $f(x)=4\left(x+\frac 12\right)\left(x+\frac 32\right)$

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Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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