Da ich einige Beispiele im Artikel zur Lage zweier Parabeln ausführlich vorgerechnet habe, finden Sie hier zu den Standardrechnungen nur einige wesentliche Zwischenschritte angegeben, aber nicht die vollständige Rechnung. Fehlende Zwischenschritte sind durch Auslassungspunkte angedeutet. Wenn in der Aufgabenstellung binomische Formeln vorhanden sind, löse ich diese schon im ersten Schritt auf.
Rechnung: $\begin{align*}x^2-x+1&=\tfrac 12 x^2+x-\tfrac 12\\ &\vdots\\ x^2-4x+3&=0\\ &\vdots\\ \end{align*}$ Zwei Schnittpunkte: $P_1(3|7)$ und $P_2(1|1)$
Rechnung: $\begin{align*} x^2+8x+16&=x^2+5x-14\\ &\vdots\\ x&=-10\\ \end{align*}$ Ein Schnittpunkt: $P(-10|36)$
Rechnung: $\begin{align*} 2x^2+4x&=x^2-5\\ x^2+4x+5&=0\\ &\vdots\\ \end{align*}$ Keine gemeinsamen Punkte vorhanden.
Rechnung: $\begin{align*} -\tfrac{1}{80} (x^2-240x+14400)+180&=-\tfrac{1}{80}x^2+3x\\ &\vdots\\ -\tfrac{1}{80}x^2+3x&=-\tfrac{1}{80}x^2+3x\\ \end{align*}$ Die Parabeln sind identisch.
Rechnung: $\begin{align*} 2(x^2+2x+1)&=x^2-x-4{,}25\\ &\vdots\\ x^2+5x+6{,}25&=0\\ &\vdots\\ \end{align*}$ Ein Berührpunkt: $B(-2{,}5|4{,}5)$
Rechnung: $\begin{align*} x^2+4x+3&=-x^2+2x+3\\ 2x^2+2x&=0\\ \end{align*}$ Dieser Gleichungstyp wird am besten durch Ausklammern gelöst, hier $x(2x+2)=0$ oder $2x(x+1)=0$ oder, bei vorheriger Division durch 2, $x(x+1)=0$. Die $pq$-Formel geht auch, ist aber umständlicher. Zwei Schnittpunkte: $P_1(0|3)$ und $P_2(-1|0)$
$f \to p_2; g \to p_1$
Zur Begründung können Sie eines der folgenden Argumente anführen:
An der Funktionsgleichung sieht man, dass nur der Graph von $f$ durch den Koordinatenursprung geht.
Wegen $\tfrac 18\lt\tfrac 14$ verläuft der Graph von $g$ flacher als der von $f$.
Das Schlüsselwort „horizontale Entfernung“ zeigt an, dass die $x$-Koordinate des Schnittpunktes gesucht ist. $\begin{align*} -\tfrac 14x^2+\tfrac 74 x&=-\tfrac 18 x^2+\tfrac 54x-2\\ &\vdots\\ x^2-4x-16&=0\\ &\vdots\\ x_1&=2+\sqrt{20}\approx 6{,}47\\ x_2&=2-\sqrt{20}\approx -2{,}47\\ \end{align*}$
Der zweite Wert spielt für das Anwendungsproblem keine Rolle. Die Wasserstrahlen treffen in einer waagerechten Entfernung von $6{,}47\,\text{m}$ vom Ausgangsort aufeinander.
Das Schlüsselwort „Höhe über dem Erdboden“ zeigt an, dass die $y$-Koordinate des Schnittpunktes gesucht ist. $f(2+\sqrt{20})\approx0{,}85$ Die Wasserstrahlen treffen in einer Höhe von $85\,\text{cm}$ über dem Erdboden aufeinander.
Da die Funktionsgleichungen in Scheitelform gegeben sind, kann man die Scheitelpunkte ablesen: $S_f(-1|0);\, S_g(3|8)$
Die Aufgabenstellung lässt zwei Lösungswege zu: Lösungsweg 1: Sie setzen gleich und berechnen wie in den vorangehenden Aufgaben die Schnittpunkte. Dabei müssen Sie als Ergebnis die Punkte aus Aufgabenteil a) erhalten. Lösungsweg 2: Sie weisen nach, dass die Punkte jeweils auf beiden Graphen liegen. Da dies für die jeweiligen Scheitelpunkte selbstverständlich ist, muss nur noch geprüft werden, ob $S_f$ auf dem Graphen von $g$ und $S_g$ auf dem Graphen von $f$ liegt:
$\begin{align*} f(3)&=\tfrac 12 (3+1)^2=\tfrac 12 \cdot 16=8=y_{S_g}\\ g(-1)&=-\tfrac 12 (-1-3)^2+8=-\tfrac 12 \cdot 16+8=0=y_{S_f}\\ \end{align*}$
Da alle Bedingungen erfüllt sind, schneiden sich die Graphen tatsächlich in den beiden Scheitelpunkten.
Beide Parabeln haben den Scheitel im Punkt $B(1|-4)$, wobei die Parabel zu $g$ enger/schmaler verläuft. Damit ist anschaulich klar, dass der Scheitelpunkt der Berührpunkt ist.
Der Schüler hat nachgewiesen, dass $B$ gemeinsamer Punkt beider Parabeln ist. Er hat jedoch nicht nachgewiesen, dass sich die Parabeln berühren. Es ist nicht ausgeschlossen, dass die Parabeln einen weiteren, von $B$ verschiedenen gemeinsamen Punkt haben.
Der Schüler wird also nicht die volle Punktzahl bekommen.