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Mathematik in der Oberstufe

Aufgaben: Lage Parabel / Gerade

Die Aufgaben beziehen sich auf den Artikel Lage von Parabel und Gerade.

  1. Gegeben sind die Normalparabel ($f(x)=x^2$) und die Gerade mit der Gleichung $g(x)=\frac{1}{2} x+2$.
    1. Zeichnen Sie die Parabel und die Gerade in ein Koordinatensystem.
    2. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte auf zwei Dezimalen genau.
  2. Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Gerade eine Sekante, eine Tangente oder eine Passante der Parabel ist. Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten der gemeinsamen Punkte.
    1. $f(x)=x^2-x-2 \quad g(x)=-\frac{1}{3} x-\frac{1}{3}$
    2. $f(x)=-2x^2+11x-2 \quad g(x)=x+12$
    3. $f(x)=2x^2+4{,}5 \quad g(x)=-6x$
    4. $f(x)=\frac{1}{4} (x-2)^2-3 \quad g(x)=\frac{1}{2} x-2$
  3. (Zusatzaufgaben) Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Gerade eine Sekante, eine Tangente oder eine Passante der Parabel ist. Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten der gemeinsamen Punkte.
    1. $f(x)=x^2+x \quad g(x)=7x-7$
    2. $f(x)=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{17}{4} \quad g(x)=3x-2$
    3. $f(x)=\dfrac{x^2}{10}-4x+30 \quad g(x)=40-4x$
    4. $f(x)=-\frac{1}{4} x^2+2 \quad g(x)=2x+10$
    5. $f(x)=9x^2-3x+1\quad g(x)=-9x+9$
  4. Gegeben sind die Parabel $f$ und die Gerade $g$ durch ihre Gleichungen $f(x)=\frac{1}{5} x^2+x+3$ bzw. $g(x)=3x-2$.
    1. Welche Lage hat die Gerade zur Parabel? Sofern gemeinsame Punkte vorhanden sind, berechnen Sie ihre Koordinaten.
    2. Geben Sie ohne Rechnung, aber mit Begründung an, ob es sich bei den Geraden $h(x)=3x+1$ bzw. $i(x)=3x-4$ um eine Passante oder um eine Sekante handelt. Berücksichtigen Sie dafür Ihr Ergebnis aus Aufgabenteil a.
  5. Gegeben sind die Parabel $f(x)=\frac{1}{2} (x-1)^2-8$ und die Gerade $g(x)=-2x-8$.
    1. Berechnen Sie die gemeinsamen Punkte der Parabel mit der Geraden.
    2. Verschieben Sie die Gerade so in Richtung der $y$-Achse, dass sie die Parabel im Punkt $P(3|y_p)$ schneidet. Berechnen Sie die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts.
  6. Gegeben sind die Parabel $f(x)=-\frac{1}{2} x^2+3x-3$ und die Gerade $g(x)=5-x$.
    1. Weisen Sie nach, dass die Gerade eine Tangente an die Parabel ist, und berechnen Sie den Berührpunkt.
    2. Geben Sie jeweils an, für welche Werte des Parameters $n$ die Gerade $h(x)=-x+n$ eine Sekante bzw. eine Passante ist. Begründen Sie Ihre Angabe.

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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