Ermitteln der Parabelgleichung bei bekannten Nullstellen

Im Artikel über die Nullstellengleichung (Linearfaktordarstellung) wurde die Gleichung einer Parabel bestimmt, bei der beide Nullstellen und der Streckfaktor bekannt sind. Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie die Gleichung bestimmen, wenn neben den Nullstellen eine andere Information über die Parabel geben ist.

In diesem Artikel erfolgt der Ansatz stets über die Nullstellengleichung, auch wenn andere Lösungswege möglich sind. Auf die Alternativen weise ich beim jeweiligen Beispiel hin.

Die Parabel hat die Form einer Normalparabel

Damit ist der Streckfaktor bekannt, nämlich $a=1$, und Sie können wie im oben genannten Artikel vorgehen.

Ist die Rede von einer nach unten geöffneten Normalparabel, so ist entsprechend $a=-1$.

Weiterer Punkt gegeben

Beispiel 1: Eine quadratische Funktion hat Nullstellen bei $x_1=\color{#a61}{4}$ und $x_2=\color{#18f}{-10}$. Die zugehörige Parabel geht durch den Punkt $P(6|8)$. Gesucht ist die Gleichung der Funktion.

Lösung: Da beide Nullstellen gegeben sind, wählen wir als Ansatz die Nullstellenform:
$f(x)=a(x-\color{#a61}{4})(x+\color{#18f}{10})$

Auch der Punkt $P(\color{#f00}{6}|\color{#1a1}{8})$ muss die Gleichung erfüllen, wenn er auf der Parabel liegen soll. Durch Einsetzen können wir den Streckfaktor ermitteln:

$\begin{align*}\color{#1a1}{8}&=a(\color{#f00}{6}-4)(\color{#f00}{6}+10)\\ 8&=a\cdot 2\cdot 16\\ 8&=32a&&|:32\\ \tfrac 14&=a\\f(x)&=\tfrac 14(x-4)(x+10)\end{align*}$

Alternativ können Sie die Gleichung bestimmen, indem Sie mithilfe der drei Punkte $N_1(4|0)$, $N_2(-10|0)$ und $P(6|8)$ ein Gleichungssystem aufstellen und lösen.

Der gleiche Fall liegt vor, wenn neben den Nullstellen noch der Wert angegeben wird, für den die Parabel die $y$-Achse schneidet. Soll die Parabel die $y$-Achse bei 5 schneiden, so liefert Ihnen diese Information den Punkt $P(0|5)$, und Sie können wie oben vorgehen.

Weiterer Parameter gegeben

Neben den beiden Nullstellen kann ein weiterer Parameter der allgemeinen Form (Polynomform) $f(x)=ax^2+bx+c$ gegeben sein. Zwei Fälle haben wir bereits abgehakt: Wenn $a$ bekannt ist, setzen Sie den Faktor vor die Linearfaktoren; wenn $c$ bekannt ist, so ist dies der $y$-Achsenabschnitt, und Sie ermitteln den Streckfaktor mithilfe des Punktes $P(0|c)$.

Es bleibt der Fall, dass $b$ angegeben ist. Für diejenigen, die im Unterricht darüber gesprochen haben: $b$ ist die Steigung der Parabeltangente im Schnittpunkt mit der $y$-Achse und kann daher im Aufgabentext entsprechend verschlüsselt sein. Alle anderen können das Problem auch ohne die anschauliche Deutung lösen.

Beispiel 2: Eine quadratische Funktion hat Nullstellen bei $x_1=-2$ und $x_2=6$, und es gilt $\color{#f00}{b}=\color{#f00}{3}$. Gesucht ist die Funktionsgleichung.

Lösung: Mit dem Parameter der allgemeinen Form können wir zunächst noch nichts anfangen, wenn wir die Nullstellenform verwenden. Wir wandeln deshalb die Nullstellenform mit dem unbekannten Streckfaktor $a$ in die allgemeine Form um.

$\begin{align*}f(x)&=a(x+2)(x-6)\\ &=a(x^2\underbrace{+2x-6x}_{-4x}-12)\\ &=ax^2\underbrace{\color{#f00}{-4a}}_{\color{#f00}{b}}x\underbrace{-12a}_{c}\end{align*}$

Ein Vergleich zeigt nun, dass $b=-4a$ ist:

$\begin{align*}\color{#f00}{b}&=-4a\\ \color{#f00}{3}&=-4a&&|:(-4)\\-\tfrac 34&=a\end{align*}$

Damit ist $c=-12a=-12\cdot \left(-\tfrac 34\right)=9$. Mithilfe der bisherigen Ergebnisse können Sie die Funktionsgleichung in zwei Formen angeben:
in allgemeiner Form: $f(x)=-\tfrac 34x^2+3x+9$
in Linearfaktordarstellung: $f(x)=-\tfrac 34(x+2)(x-6)$

Alternativ (und einfacher!) können Sie die Gleichung ermitteln, indem Sie als Ansatz die allgemeine Form $f(x)=ax^2+3x+c$ wählen und mit den zwei Nullstellen (Schnittpunkte mit der $x$-Achse) ein Gleichungssystem aufstellen.

y-Koordinate des Scheitels gegeben

Beispiel 3: Ein parabelförmiger Bogen einer mehrteiligen Brücke beginnt in $A(\color{#a61}{30}|0)$ und endet in $B(\color{#18f}{80}|0)$ (Angaben in Meter). Seine maximale Höhe beträgt 10 m. Durch welche Gleichung kann der Bogen beschrieben werden?

Lösung: Die Höhe ist die zweite Koordinate des Scheitels: $S(x_s|\color{#1a1}{10})$. Es gibt zwei Lösungswege, je nachdem, was Sie im Unterricht gelernt haben.

Lösungsweg 1: Sie wissen und dürfen benutzen, dass die $x$-Koordinate des Scheitels in der Mitte zwischen zwei Nullstellen liegt.

In diesem Beispiel ist $x_s=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{\color{#a61}{30}+\color{#18f}{80}}{2}=55$. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(55|10)$, und Sie können den Streckfaktor wie oben durch Einsetzen des Punktes in die Nullstellenform ermitteln.

Alternativ können Sie auch die Scheitelform wählen und den Streckfaktor ermitteln, indem Sie den Punkt $A$ oder $B$ einsetzen. Der rechnerische Aufwand ist gleich.
Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Gleichung mithilfe von drei Punkten zu bestimmen, aber das ist in diesem Fall unnötig umständlich.

Lösungsweg 2: Sie wissen nicht oder dürfen nicht benutzen, dass die $x$-Koordinate des Scheitels in der Mitte zwischen zwei Nullstellen liegt.

In diesem Fall wandeln Sie die Nullstellengleichung schrittweise in die Scheitelform um:

$\begin{align*}f(x)&=a(x-\color{#a61}{30})(x-\color{#18f}{80})\\ &=a(x^2 \underbrace{-80x-30x}_{-110x}+2400)\\ &=a\biggl[x^2-110x+\underbrace{\left(\tfrac{110}{2}\right)^2-\left(\tfrac{110}{2}\right)^2}_{\text{quad. Ergänzung}}+2400\biggr]\\ &=a\Bigl[(x-55)^2\underbrace{-3025+2400}_{-625}\Bigr]\\ &=a(x-55)^2-625a\end{align*}$

Ein Vergleich mit der Scheitelform $f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$ ergibt

$\begin{align*}\color{#1a1}{y_s}&=-625a\\\color{#1a1}{10}&=-625a&&|:(-625)\\-\tfrac{2}{125}&=a\end{align*}$

Die Gleichung der Parabel können Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in zwei Formen angeben:
Nullstellenform: $f(x)=-\tfrac{2}{125}(x-30)(x-80)$
Scheitelform: $f(x)=-\tfrac{2}{125}(x-55)^2+10$

In der Formulierung „die Gerade $y=-5$ berührt die Parabel“ ist ebenfalls die $y$-Koordinate des Scheitels versteckt: die Gerade verläuft horizontal (waagerecht) und kann die Parabel somit nur im Scheitelpunkt berühren. Damit ist in diesem Beispiel $y_s=-5$.

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Ermitteln der Parabelgleichung bei bekannten Nullstellen

Die Parabel hat die Form einer Normalparabel

Weiterer Punkt gegeben

Weiterer Parameter gegeben

y-Koordinate des Scheitels gegeben

Quadratische Funktionen 2: Aufstellen einer Gleichung

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