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Mathematik in der Oberstufe

Quadratische Gleichungen: Wiederholung

Auf dieser Seite geht es um Lösungswege für quadratische Gleichungen ohne Parameter. Da Sie das Thema schon aus der Mittelstufe kennen, fangen wir mit der allgemeingültigen $pq$-Formel an und betrachten dann Lösungswege für spezielle Typen. Bitte ignorieren Sie die speziellen Wege nicht – sie sind später für schwierigere Gleichungstypen wichtig.

Die pq-Formel

Ist eine in Normalform gegebene quadratische Gleichung lösbar, so erhält man ihre Lösungen mit der $pq$-Formel: \[\begin{align*}x^2+px+q&=0\\ x_{1,2}&=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\end{align*}\] Für $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q<0$ hat die Gleichung keine Lösung, für $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=0$ stimmen beide Lösungen überein.

Unter Normalform versteht man in diesem Zusammenhang, dass vor dem quadratischen Glied $x^2$ keine Zahl (beziehungsweise die ungeschriebene positive Eins) steht.

Während man früher vor dem Einsetzen in die $pq$-Formel die Diskriminante $D=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$ berechnete, um zu entscheiden, ob es überhaupt Lösungen gibt, setzt man heutzutage fast immer sofort ein. Erst im Laufe der Rechnung ergibt sich somit die Anzahl der Lösungen.

Beim Term $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ spielt das Vorzeichen von $p$ keine Rolle, da das Ergebnis als Quadrat immer positiv ist. Das Vorzeichen von $p$ wird daher an dieser Stelle außer Acht gelassen.

Beispiel 1: $\;x^2+\color{#f61}{6}x\color{#18f}{-16}=0$

Da die Gleichung bereits normiert ist (der unsichtbare Faktor vor dem Quadratglied beträgt Eins), können wir direkt die Lösungsformel anwenden:

$\begin{align*}x_{1,2}&=-\tfrac{\color{#f61}{6}}{2}\pm \sqrt{\left(\tfrac{\color{#f61}{6}}{2}\right)^2-(\color{#18f}{-16})}\\ &=-3\pm \sqrt{9+16}\\ x_1&=-3+\sqrt{25}=2\\x_2&=-3-\sqrt{25}=-8\end{align*}$

Beispiel 2: $\;x^2-\frac{13}{3}x+4=0$

Wenn $p$ bereits ein Bruch ist, schreibt man besser keinen Doppelbruch, sondern berechnet $\frac{p}{2}$ sofort. Hier ist $\frac{p}{2}=-\frac{13}{3}:2=-\frac{13}{3}\cdot \frac 12=-\frac{13}{6}$, und somit bekommen wir:

$\begin{align*}x_{1,2}&=\tfrac{13}{6}\pm \sqrt{\left(\tfrac{13}{6}\right)^2-4}\\ &=\tfrac{13}{6}\pm \sqrt{\tfrac{169}{36}-4}\\x_1&=\tfrac{13}{6}+\sqrt{\tfrac{25}{36}}=3\\x_2&=\tfrac{13}{6}-\sqrt{\tfrac{25}{36}}=\tfrac 43\end{align*}$

Beispiel 3: $\;\frac 12x^2-4x+8=0$

Diese Gleichung muss zunächst auf Normalform gebracht werden:

$\begin{align*}\tfrac 12x^2-4x+8&=0&&|:\tfrac 12\;\text{ bzw. }\;\cdot 2\\ x^2-8x+16&=0\\x_{1,2}&=-\tfrac{-8}{2}\pm \sqrt{\left(\tfrac 82\right)^2-16}\\ &=4\pm \sqrt{16-16}\\ x_1&=4+\sqrt{0}=4\\ x_2&=4-\sqrt{0}=4\end{align*}$

Beide Lösungen der Gleichung stimmen überein: $x_{1,2}=4$. In der Mittelstufe notiert man nur eine Lösung. In der Oberstufe werden solche Lösungen oft interpretiert, zum Beispiel als Nullstelle einer Funktion. Graphisch bedeutet es einen Unterschied, ob ein und dieselbe Lösung einmal oder zweimal (oder noch öfter) vorkommt, sodass es sehr sinnvoll ist, die Doppellösung auch entsprechend kenntlich zu machen.

Beispiel 4: $\;-x^2+2x-4=0$

Schon das kleine Minus vor dem $x^2$ stört, sodass auch diese Gleichung zunächst auf Normalform gebracht werden muss:

$\begin{align*}-x^2+2x-4&=0&&|:(-1)\\ x^2-2x+4&=0\\ x_{1,2}&=-\tfrac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\tfrac 22\right)^2 -4}\\ &=1\pm \sqrt{1-4}\end{align*}$

Die Gleichung hat keine reelle Lösung, da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.

Gleichungen ohne Absolutglied

Das Absolutglied einer quadratischen Gleichung ist der Summand ohne Variable, also in der Normalform das $q$. Prinzipiell ist es zwar auch für $q=0$ möglich, die $pq$-Formel zu verwenden, aber es gibt einen langfristig besseren Weg: Ausklammern. Diese Technik ist sehr wesentlich auch für schwierigere Gleichungen, mit denen Sie im Verlauf der Oberstufe konfrontiert werden.

Beispiel 5: $\;x^2-5x=0$

Da jeder Summand die Variable enthält, können wir $x$ ausklammern:

$x\cdot (x-5)=0$

Nun steht dort ein Produkt, dessen Ergebnis Null ergeben soll. Das geht aber nur, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Dies wird oft Satz vom Nullprodukt genannt.

Da wir alle Lösungen der Gleichung suchen, setzen wir nacheinander jeden Faktor Null. Beim ersten Faktor müssen wir nichts tun und bekommen sofort die Lösung:

$\begin{align*}x&=0&& \text{ oder } & x-5&=0&&|+5\\ x_1&=0&&&x_2&=5\end{align*}$

Beispiel 6: $\;-2x^2-8x=0$

In diesem Fall kann man zwar auch $-2x$ ausklammern, aber wir bleiben der Einfachheit halber bei $x$:

$\begin{align*}-2x^2-8x&=0\\ x(-2x-8)&=0\\x_1&=0 &&\text{ oder }& -2x-8&=0&&|+8\\ &&&&-2x&=8&&|:(-2)\\ &&&&x_2&=-4\end{align*}$

Reinquadratische Gleichungen

Bei reinquadratischen Gleichungen fehlt das Linearglied, was in der Normalform gleichbedeutend mit $p=0$ ist. In diesem Fall lässt sich die Gleichung durch Wurzelziehen lösen.

Einfache reinquadratische Gleichungen

Beispiel 7: $\;2x^2-12=0$

Elementarer Lösungsweg:

$\begin{align*}2x^2-12&=0&&|+12\\ 2x^2&=12&&|:2\\x^2&=6&&\big|\sqrt{\phantom{{}6}}\\ x_1&=\sqrt{6}\approx 2,45\\ x_2&=-\sqrt{6}\approx -2,45\end{align*}$

Bei diesem Lösungsweg vergessen leider auch gute Schüler oft die zweite Lösung. Achten Sie unbedingt darauf und prägen Sie sich ein, dass es bei quadratischen Gleichungen fast immer zwei Lösungen gibt. Wenn Sie nur eine haben, überlegen Sie, ob das auch stimmen kann (ausgeschlossen ist das ja nicht, wie Sie in Beispiel 3 gesehen haben).

Die Gleichung $x^2=0$ hat die (Doppel)Lösung $x_{1,2}=0$, die Gleichung $x^2=-4$ hat keine reelle Lösung.

Erweiterte reinquadratische Gleichungen

Zunächst einmal: „erweiterte“ reinquadratische Gleichung ist kein etablierter mathematischer Fachbegriff! Gemeint sind Gleichungen der Form „Klammer hoch zwei gleich Zahl“, die nach dem Prinzip des Wurzelziehens gelöst werden.

Beispiel 8: $\;(x+4)^2=9$

Wir können sofort die Wurzel ziehen und müssen an die zwei Möglichkeiten denken:

$\begin{align*}(x+4)^2&=9&&|\sqrt{\phantom{{}6}}\\x+4&=\pm 3\\ x+4&=3&&|-4&\text{ oder } &&x+4&=-3&&|-4\\x_1&=-1&&&&&x_2&=-7\end{align*}$

Beispiel 9: $\;\left(x-\frac 12\right)^2=0$

Hier ist die Lösungsmethode wegen $\pm 0=0$ besonders einfach:

$\begin{align*}\left(x-\tfrac 12\right )^2&=0&&|\sqrt{\phantom{{}5}}\\ x-\tfrac 12&=0&&|+\tfrac 12\\ x&=\tfrac 12\end{align*}$

Fertig! Falls die eventuelle graphische Interpretation der Lösungsmenge muss man nur noch berücksichtigen, dass es sich um eine doppelte Lösung handelt.

Die Methode lässt sich auch auf Gleichungen der Form $\frac 12(x-2)^2-8=0$ anwenden, indem man die Methoden der Beispiele 7 und 8 kombiniert. Es bleibt Ihnen überlassen, ob Sie den zuletzt vorgestellten Weg einschlagen oder in die allgemeine Form umwandeln (Klammern auflösen) und die $pq$-Formel anwenden.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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