Ermitteln der Parabelgleichung aus drei Punkten
Drei Punkte legen oft – nicht immer – eine Parabel fest. Auf dieser Seite lernen Sie, wie Sie die Gleichung ermitteln und wie Sie feststellen, ob die Punkte tatsächlich eine Parabel festlegen.
Anschauung
Verschieben Sie die roten Punkte und beobachten Sie, welche Werte die Parameter annehmen. Was geschieht, wenn zwei Punkte die gleiche $x$-Koordinate haben? Legen Sie die Punkte auch einmal auf eine Gerade.
Wenn zwei verschiedene Punkte die gleiche $x$-Koordinate haben, legen sie keinen Funktionsgraphen fest: eine Funktion ist ja unter anderem dadurch definiert, dass einem $x$-Wert nicht mehrere verschiedene $y$-Werte zugeordnet werden dürfen.
Berechnen der Funktionsgleichung
Für die folgenden Beispiele gehe ich davon aus, dass Sie das Additions- und Subtraktionsverfahren für lineare Gleichungssysteme kennen. Falls Sie das Gauß-Verfahren kennen, können Sie auch das benutzen, aber ich setze es nicht voraus.
Beispiel 1: Eine Parabel geht durch die Punkte $A(-1|1)$, $B(3|-1)$ und $C(5|7)$. Gesucht ist eine Funktionsgleichung.
Lösung: Sind drei Punkte ohne besondere Eigenschaft wie zum Beispiel Nullstellen oder der Scheitelpunkt gegeben, so verwendet man als Ansatz die allgemeine Form (Polynomform) $f(x)=ax^2+bx+c$.
Jeder der drei Punkte muss „die Gleichung erfüllen“. Für die Koordinaten von $A(\color{#f00}{-1}|\color{#1a1}{1})$ heißt das beispielsweise
$\begin{alignat*}{6}f(\color{#f00}{-1})&\,=\,&\color{#1a1}{1}\quad&a\cdot (\color{#f00}{-1})^2&\,+\,&b\cdot (\color{#f00}{-1})&\,+\,&c&\,=\,&\color{#1a1}{1}\\&&&a&\,-\,&b&\,+\,&c&\,=\,&1\end{alignat*}$
Führen wir das für alle Punkte durch, so erhalten wir drei Gleichungen mit drei Unbekannten:
$\begin{alignat*}{6}&f(-1)=1\quad &&\text{I }\quad &a&\,-\,&b&\,+\,&c&\,=\,&1\\ &f(3)=-1\quad &&\text{II }\quad &9a&\,+\,&3b&\,+\,&c&\,=\,&-1\\ &f(5)=7\quad &&\text{III }\quad &25a&\,+\,&5b&\,+\,&c&\,=\,&7\\ \end{alignat*}$
Vielleicht haben Sie bisher nur Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten gelöst. Hier geht man im Prinzip genau so vor: man reduziert die Anzahl der Unbekannten. Aufgrund der Struktur bietet es sich an, von hinten nach vorn aufzulösen, also zuerst $c$ zu eliminieren. Dies erreichen wir, indem wir Gleichung I von Gleichung II subtrahieren:
$\text{IV}=\text{II}-\text{I}\quad 8a+4b=-2$
Allein damit kommen wir nicht weiter, da in dieser Gleichung immer noch zwei Unbekannte vorhanden sind. Wir brauchen eine weitere Gleichung, die ebenfalls nur die Unbekannten $a$ und $b$ enthält. Dazu verwenden wir die noch nicht benutzte Gleichung III und subtrahieren entweder I oder II:
$\text{V}=\text{III}-\text{II}\quad 16a+2b=8$
Auf die Gleichungen IV und V können wir das bekannte Additionsverfahren anwenden. In diesem Fall macht es keinen Unterschied, ob $b$ oder $a$ als nächstes Element eliminiert wird. Wir wählen $b$ und multiplizieren geeignet, bevor wir addieren:
$\begin{alignat*}{6}&\text{IV }\quad &8a&\,+\,&4b&\,=\,&-2\\ &\text{V}\cdot (-2)\quad &-32a&\,-\,&4b&\,=\,&-16 && \qquad &|\text{ IV}+\text{V}\cdot (-2)\\ \\ & &-24a&\,\,&&\,=\,&-18&& &| :(-24)\\ & &a&\,\,&&\,=\,&0{,}75\end{alignat*}$
Den Wert für $a$ können wir in IV oder V einsetzen, um $b$ zu ermitteln:
$\begin{align*}a\text{ in IV }&& 8\cdot 0{,}75+4b&=-2\\ &&6+4b&=-2&&|-6\\ &&4b&=-8&&|:4\\ &&b&=-2\end{align*}$
Nun setzen wir in I, II oder III ein, um $c$ zu berechnen:
$\begin{align*}a,b \text{ in I }&&0{,}75-(-2)+c&=1\\ && 0{,}75+2+c&=1&&|-0{,}75-2\\ &&c&=-1{,}75\end{align*}$
Die gesuchte Funktion hat die Gleichung $f(x)=0{,}75x^2-2x-1{,}75$
Beispiel 2: Gesucht ist die Gleichung der Parabel durch die Punkte $A\left(-\tfrac 43\big|-\tfrac 73\right)$, $B\left(\tfrac 43\big|3\right)$ und $C(2|1)$.
Lösung: Wir stellen wieder das Gleichungssystem auf und bilden die Differenzen von je zwei Gleichungen, um $c$ zu eliminieren.
$\begin{alignat*}{6}&f\left(-\tfrac 43\right)=-\tfrac 73\quad &&\text{I }\quad &\tfrac{16}{9}a&\,-\,&\tfrac 43b&\,+\,&c&\,=\,&-\tfrac 73\\ &f\left(\tfrac 43\right)=3\quad &&\text{II }\quad &\tfrac{16}{9}a&\,+\,&\tfrac 43b&\,+\,&c&\,=\,&3\\ &f(2)=1\quad &&\text{III }\quad &4a&\,+\,&2b&\,+\,&c&\,=\,&1\\ \\ & &&\text{IV}=\text{II}-\text{I}\quad &&\,\,&\tfrac 83b&\,\,&&\,=\,&\tfrac{16}{3}\\ & &&\text{V}=\text{III}-\text{II }\quad &\tfrac{20}{9}a&\,+\,&\tfrac 23b&\,\,&&\,=\,&-2\\ \end{alignat*}$
In diesem Fall ist in Gleichung IV mit $c$ auch $a$ hinausgefallen. Dies geschieht immer dann, wenn sich bei zwei Punkten die $x$-Koordinaten nur im Vorzeichen unterscheiden.
Wir können also sofort die Unbekannten berechnen:
$\begin{align*}&\text{IV }&\tfrac 83b&=\tfrac{16}{3}&&|:\tfrac 83\text{ bzw. }\cdot \tfrac 38\\&&b&=2\\& b\text{ in V }& \tfrac{20}{9}a+\tfrac 23\cdot 2&=-2&&|-\tfrac 43\\ && \tfrac{20}{9}a&=-\tfrac{10}{3}&&|:\tfrac{20}{9}\\ && a&=-1{,}5\\&a,b\text{ in III }&4\cdot (-1{,}5)+2\cdot 2+c&=1\\ && -6+4+c&=1&&|+6-4\\ && c&=3\end{align*}$
Die gesuchte Gleichung ist $f(x)=-1{,}5x^2+2x+3$.
Hinweis: Ist einer der Punkte der Schnittpunkt mit der $y$-Achse, so ist der Parameter $c$ schon bekannt:
z. B. $A(0|4)\Rightarrow f(0)=4$ $\Rightarrow \underbrace{a\cdot 0^2}_{0}+\underbrace{b\cdot 0}_{0}+c=4\Rightarrow c=4$
Dann ist es natürlich nicht sinnvoll, $c$ zu eliminieren, sondern man setzt den Wert sofort ein und eliminiert $a$ oder $b$. Ein Beispiel dazu finden Sie im Artikel zum Thema Parabel aus zwei Punkten und Parameter.
Parabel oder nicht?
Wie Sie in der Grafik schon festgestellt haben, legen drei (verschiedene) Punkte nicht immer eine Parabel fest. Offensichtlich ist dies nur dann, wenn bei zwei Punkten zwar die Abszissen ($x$-Koordinaten) übereinstimmen, nicht aber die $y$-Koordinaten: dann ist kein Funktionsgraph möglich.
Beispiel 3: Untersuchen Sie, ob die Punkte $A(-2|-2)$, $B(4|3)$ und $C(16|13)$ auf einer Parabel oder einer Geraden liegen, und geben Sie die entsprechende Funktionsgleichung an.
Lösungsweg 1: Wir untersuchen zuerst, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Das ist der Fall, wenn (beispielsweise) die Steigung der Geraden $(AB)$ mit der Steigung der Geraden $(AC)$ übereinstimmt.
$m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{3-(-2)}{4-(-2)}=\tfrac 56\\ m_{AC}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{13-(-2)}{16-(-2)}=\tfrac{15}{18}=\tfrac 56$
Wegen $m_{AB}=m_{AC}$ liegen die Punkte auf einer Geraden, und wir können ihre Gleichung mithilfe der Normalform $f(x)=mx+n$ (oder der Punksteigungsform $f(x)=m(x-x_1)+y_1$) bestimmen. Zur Berechnung des Achsenabschnitts $n$ kann irgendeiner der drei Punkte gewählt werden, hier $B(4|3)$:
$\begin{align*}f(x)&=\tfrac 56 x+n\\ 3&=\tfrac 56\cdot 4+n&&|-\tfrac{20}{6}\\ -\tfrac 13&=n \\f(x)&=\tfrac 56x-\tfrac 13\end{align*}$
Lösungsweg 2: Wir prüfen nicht zuerst, ob die Punkte auf einer Geraden liegen, sondern gehen von einer quadratischen Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ aus, gehen also wie oben vor.
$\begin{alignat*}{6}&f(-2)=-2\quad &&\text{I }\quad &4a&\,-\,&2b&\,+\,&c&\,=\,&-2\\ &f(4)=3\quad &&\text{II }\quad &16a&\,+\,&4b&\,+\,&c&\,=\,&3\\ &f(16)=13\quad &&\text{III }\quad &256a&\,+\,&16b&\,+\,&c&\,=\,&13\\ \\ & &&\text{IV}=\text{II}-\text{I}\quad &12a&\,+\,&6b&\,\,&&\,=\,&5\\ & &&\text{V}=\text{III}-\text{II }\quad &240a&\,+\,&12b&\,\,&&\,=\,&10\\ \\ & &&\text{IV}\cdot (-2)\quad &-24a&\,-\,&12b&\,\,&&\,=\,&-10\\ & &&\text{V}+\text{IV}\cdot (-2)\quad &216a&\,\,&&\,\,&&\,=\,&0&&\qquad &|:216\\ & && &a&\,\,&&\,\,&&\,=\,&0\\ \end{alignat*}$
Die anderen Unbekannten erhalten wir durch Einsetzen:
$\begin{align*}&a\text{ in IV} &12\cdot 0+6b&=5&&|:6\\&&b&=\tfrac 56\\ &a,b \text{ in I}&4\cdot 0-2\cdot \tfrac 56+c&=-2\\&&-\tfrac 53+c&=-2&&|+\tfrac 53\\ &&c&=-\tfrac 13\end{align*}$
Vielleicht haben Sie vermutet, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist, wenn die Punkte auf einer Geraden liegen. Das ist aber nicht so, sondern wir erhalten eine eindeutige Lösung. Wegen $a=0$ entfällt jedoch das quadratische Glied, und es liegt eine lineare Funktion vor. Wie beim ersten Lösungsweg erhalten wir die Gleichung $f(x)=\tfrac 56x-\tfrac 13$.
Welcher Lösungsweg ist besser? Das lässt sich nicht pauschal beantworten. Wenn Sie nachweisen sollen, dass drei Punkte nicht auf einer Parabel liegen, ist auf jeden Fall der erste Weg vorzuziehen. Sollen Sie dagegen nicht nur prüfen, ob drei Punkte eine Parabel festlegen, sondern auch die Gleichung angeben, so ist oft der zweite Weg schneller – spätestens dann, wenn eine Parabel vorliegt, müssen Sie ja dieses Gleichungssystem aufstellen. Falls Ihr Lehrer verlangt, erst auf den Typ der Funktion zu prüfen, müssen Sie natürlich den ersten Weg einschlagen.
Für interessierte Schüler und (Nachhilfe-)Lehrer sei noch gesagt, dass das Gleichungssystem immer eine eindeutige Lösung besitzt, wenn nur die $x$-Koordinaten verschieden sind (Stichwort Vandermonde-Determinante).
Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt
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Quadratische Funktionen 2: Aufstellen einer Gleichung
Beispiele, Erklärungen
- Parabel aus Scheitelpunkt und Punkt
- Parabel aus zwei Punkten und Parameter (insbesondere Normalparabel)
- Parabel aus drei Punkten (inkl. Sonderfall Gerade)
- Parabel aus zwei Nullstellen
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