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Mathematik in der Oberstufe

Lösungen: Parabelgleichung aus Punkt und Scheitelpunkt bestimmen

Da ich den Rechenweg ausführlich im zugehörigen Artikel beschrieben habe, finden Sie hier nur Kurzlösungen.

  1. Gleichung in Scheitelform und in allgemeiner Form
    1. $f(x)=\frac 15(x+3)^2+1=\frac 15x^2+\frac 65x+\frac{14}{5}$
    2. $f(x)=-\frac 12(x-1)^2+4=-\frac 12x^2+x+3{,}5$
    3. $f(x)=2(x-10)^2-8=2x^2-40x+192$
  2. Es war eine Gleichung gefragt; demnach genügt die Angabe in Scheitelpunktform. Als Zusatz habe ich noch die allgemeine Form angegeben. Es sind alle günstigen Punkte markiert, die Sie für die Berechnung verwenden können.
    Parabeln
    $h$ und $f$ können durch Ablesen angegeben werden, die anderen müssen berechnet werden.
    $f(x)=4(x-3)^2-2=4x^2-24x+34$
    $g(x)=\frac 34(x+2)^2-2=\frac 34x^2+3x+1$
    $h(x)=-3(x+3)^2+2=-3x^2-18x-25$
    $i(x)=-\frac 14(x-1)^2+3=-\frac 14x^2+\frac 12x+\frac{11}{4}$
    $k(x)=\frac{3}{16}(x-5)^2+1=\frac{3}{16}x^2-\frac{15}{8}x+\frac{91}{16}$
  3. Auch hier reicht die Scheitelform; zusätzlich habe ich die allgemeine Form angegeben.
    1. $S(5|4)$; $P(8|0)$
      $f(x)=-\frac 49(x-5)^2+4=-\frac 49x^2+\frac{40}{9}x-\frac{64}{9}$
    2. $S(-2|0)$; $P(0|-4)$
      $f(x)=-(x+2)^2=-x^2-4x-4$
    3. $S(3|-1)$; $P(0|0)$
      $f(x)=\frac 19(x-3)^2-1=\frac 19x^2-\frac 23x$
    4. $S(0|0)$; $P(2|-1)$
      $f(x)=-\frac 14x^2$
      Scheitelform und allgemeine Form stimmen überein, da die Parabel nicht nach rechts oder links verschoben ist.
  4. Parabelförmiger Brückenbogen
    Brückenbogen in vier Lagen im Koordinatensystem Parabel A wird mit Hilfe des Scheitels $S(0|0)$ und des Punktes $P(50|5)$ berechnet. Da die anderen Graphen nur durch Verschiebung des Scheitels entstehen, haben alle Gleichungen denselben Streckfaktor $a=\frac{1}{500}$ und können in der Scheitelform ohne weitere Rechnung angegeben werden.
    A) $f(x)=\frac{1}{500}x^2=0{,}002x^2$
    B) $f(x)=\frac{1}{500}(x-50)^2=0{,}002x^2-0{,}2x+5$
    C) $f(x)=\frac{1}{500}x^2-5=0{,}002x^2-5$
    D) $f(x)=\frac{1}{500}(x-50)^2-5=0{,}002x^2-0{,}2x$
  5. Da $S(2|3)$ laut Aufgabenstellung der höchste Punkt ist, muss für jeden weiteren Punkt der Parabel gelten, dass seine $y$-Koordinate nicht höher als die des Scheitelpunktes ist: $y\leq 3$. Die $y$-Achse kann daher nicht in $y=4$ geschnitten werden.
    Wenn man die Gleichung aufzustellen versucht, erhält man als „Lösung“ die nach oben geöffnete Parabel mit der Gleichung $f(x)=\frac 14(x-2)^2+3$. Der Scheitel $S(2|3)$ erweist sich entgegen der Aufgabenstellung als tiefster Punkt.

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Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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