Impressum Datenschutz

Mathematik in der Oberstufe

Lösungen: Ermitteln der Parabelgleichung aus drei Punkten

Ausführlich vorgerechnete Beispiele finden Sie im zugehörigen Artikel. Da die meisten Fehler beim Aufstellen des Gleichungssystems (LGS) passieren (Vorzeichen!), habe ich die Gleichungen angegeben.

  1. Gleichung der Parabel durch drei Punkte
    1. LGS:
      $\begin{alignat*}{6}&\text{I }\quad &4a&\,-\,&2b&\,+\,&c&\,=\,&8\qquad &\\ &\text{II }\quad &a&\,+\,&b&\,+\,&c&\,=\,&-4\qquad &\\ &\text{III }\quad &9a&\,+\,&3b&\,+\,&c&\,=\,&-2\qquad &\\ \end{alignat*}$
      Gleichung: $f(x)=x^2-3x-2$
    2. LGS:
      $\begin{alignat*}{6} &\text{I }\quad &16a&\,-\,&4b&\,+\,&c&\,=\,&-22\qquad &\\ &\text{II }\quad &4a&\,-\,&2b&\,+\,&c&\,=\,&-8\qquad &\\ &\text{III }\quad &4a&\,+\,&2b&\,+\,&c&\,=\,&8\qquad &\\ \end{alignat*}$
      Gleichung: $f(x)=-\tfrac 12x^2+4x+2$
    3. LGS:
      $\begin{alignat*}{6} &\text{I }\quad &36a&\,-\,&6b&\,+\,&c&\,=\,&18\qquad &\\ &\text{II }\quad &9a&\,+\,&3b&\,+\,&c&\,=\,&0\qquad &\\ &\text{III }\quad &20{,}25a&\,+\,&4{,}5b&\,+\,&c&\,=\,&7{,}5\qquad &\\ \end{alignat*}$
      Gleichung: $f(x)=\tfrac 23x^2-6$
    4. LGS:
      $\begin{alignat*}{6} &\text{I }\quad &&\,\,&&\,\,&c&\,=\,&-3\qquad &\\ &\text{II }\quad &a&\,+\,&b&\,+\,&c&\,=\,&-1\qquad &\\ &\text{III }\quad &9a&\,+\,&3b&\,+\,&c&\,=\,&-9\qquad &\\ \end{alignat*}$
      Gleichung: $f(x)=-2x^2+4x-3$
    5. LGS:
      $\begin{alignat*}{6} &\text{I }\quad &6{,}25a&\,-\,&2{,}5b&\,+\,&c&\,=\,&5\qquad &\\ &\text{II }\quad &4a&\,-\,&2b&\,+\,&c&\,=\,&0\qquad &\\ &\text{III }\quad &a&\,+\,&b&\,+\,&c&\,=\,&12\qquad &\\ \end{alignat*}$
      Gleichung: $f(x)=4x^2+8x$
  2. Punkte: $A(0|-12)$; $B(-6|0)$; $C(4|0)$; LGS:
    $\begin{alignat*}{6} &\text{I }\quad &&\,\,&&\,\,&c&\,=\,&-12\qquad &\\ &\text{II }\quad &36a&\,-\,&6b&\,+\,&c&\,=\,&0\qquad &\\ &\text{III }\quad &16a&\,+\,&4b&\,+\,&c&\,=\,&0\qquad &\\ \end{alignat*}$
    Gleichung: $f(x)=\tfrac 12x^2+x-12$
    Die Aufgabe lässt sich auch über den Nullstellenansatz lösen.
    1. Dritter Punkt: $C(1|1{,}9)$ (oder $C(19|1{,}9)$); LGS:
      $\begin{alignat*}{6} &\text{I }\quad &&\,\,&&\,\,&c&\,=\,&0\qquad &\\ &\text{II }\quad &400a&\,+\,&20b&\,+\,&c&\,=\,&0\qquad &\\ &\text{III }\quad &a&\,+\,&b&\,+\,&c&\,=\,&1{,}9\qquad &\\ \end{alignat*}$
      Gleichung: $f(x)=-\tfrac{1}{10}x^2+2x$
      Die Funktionsgleichung kann man auch mittels der Nullstellengleichung bestimmen.
    2. Der Bogen ist am höchsten in der Mitte: $f(\color{#f00}{10})=-\tfrac{1}{10}\cdot 10^2+2\cdot 10=\color{#1a1}{10}$. Der Brückenbogen ist 10 m hoch.
      Alternativ kann man den Scheitelpunkt berechnen, der bei $S(10|10)$ liegt.
  4. Da man hier unterschiedliche Lösungswege einschlagen kann, habe ich auf die Angabe des LGS verzichtet. Beispiele finden Sie im Artikel.
    1. Gerade $f(x)=-\tfrac 13x+\tfrac 83$
    2. Parabel $f(x)=0{,}01x^2+0{,}1x+1$
    3. Bei dieser Aufgabe ist Rechnen überflüssig, wenn man geschickt argumentiert: Da alle $x$-Koordinaten verschieden und alle $y$-Koordinaten gleich sind (nämlich 4), liegen die Punkte auf der Geraden $y=4$.
    4. Parabel $f(x)=-\tfrac 14x^2-x+10$

Zurück zu den Aufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

Teilen Info Bei den "Teilen"-Schaltflächen handelt es sich um rein statische Verlinkungen, d.h. sie senden von sich aus keinerlei Daten an die entsprechenden sozialen Netzwerke. Erst wenn Sie einen Link anklicken, öffnet sich die entsprechende Seite.

↑

Werbung

Quadratische Funktionen 2: Aufstellen einer Gleichung

Beispiele, Erklärungen

Aufgaben

Werbung

.