Auf dieser Seite werden lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten betrachtet. Dieser Text ist keine Einführung für die Mittelstufe, sondern soll das Wichtige für die Oberstufe zusammenfassen. Am Schluss wird kurz das Subtraktionsverfahren behandelt.
Gegeben sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:
$\begin{align*}\text{I }&&4x+3y&=-4\\ \text{II }&&5x-3y&=22\end{align*}$
Wie die Grafik mit der Waage verdeutlicht, kann man seitenweise addieren. Wegen $3y+(-3y)=0$ fällt $y$ heraus, und wir erhalten eine Gleichung, die nur noch die Variable $x$ enthält.
$\begin{align*}\text{I }&&4x+3y&=-4\\ \text{II }&&5x-3y&=22\\ \\ \text{I}+\text{II }&& 9x\hphantom{{}+3y} &=18&&|:9\\&&x\hphantom{{}+3y} &=2\end{align*}$
Die andere Variable bekommen wir, indem wir $x$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Wir wählen Gleichung I und rechnen nebenher $4\cdot 2 = 8$ aus, um Schreibarbeit zu sparen:
$\begin{align*}x \text{ in I: }&& 4\cdot 2+3y&=-4&&|-8\\&&3y&=-12&&|:3\\ &&y&=-4\end{align*}$
Das Zahlenpaar $(2|-4)$ ist also einzige Lösung des Gleichungssystems.
Im obigen Beispiel ist durch die Addition eine Variable verschwunden. Nicht immer ist die Ausgangslage so bequem, und die nächsten Beispiele zeigen, wie man damit umgeht.
Gegeben ist das Gleichungssystem
$\begin{align*}\text{I }&&3x+20y&=4\\ \text{II }&&-2x+5y&=-21\end{align*}$
Wenn wir sofort addieren würden, würde weder $x$ noch $y$ herausfallen, und wir könnten keine Variable berechnen. Wir können aber die Gleichungen geeignet multiplizieren, damit eine Unbekannte herausfällt. Dabei haben wir die Wahl:
In beiden Fällen ermitteln wir die zweite Variable anschließend durch Einsetzen.
Im folgenden rechnen wir die zweite Variante durch:
$\begin{align*}\text{I }&&3x+20y&=4&&|⋅2\\ \text{II }&&-2x+5y&=-21&&|\cdot 3\\ \\ \text{I}_a&& 6x+40y&=8\\ \text{II}_a&&-6x+15y&=-63\\ \\ \text{I}_a+\text{II}_a&& 55y&=-55&&|:55\\ &&y&=-1\end{align*}$
Der Index $a$ bei $\text{I}_a$ soll verdeutlichen, dass die ursprüngliche Gleichung verändert wurde. Je nach Buch/Lehrer sind auch andere Bezeichnungen möglich; oft wird die Gleichung nicht neu benannt.
Wir setzen $y=-1$ in II ein und berechnen nebenher wieder $5\cdot (-1) = -5$:
$\begin{align*}y \text{ in II:}&&-2x+5\cdot (-1)&=-21&&|+5\\&&-2x&=-16&&|:(-2)\\&&x&=8\end{align*}$
Die Lösung ist also $(8|-1)$.
Bei größeren Zahlen ist das kleinste gemeinsame Vielfache oft nicht mehr auf Anhieb zu erkennen:
$\begin{align*}\text{I }&&36x+57y&=30\\ \text{II }&&47x-76y&=-21\end{align*}$
Ein geübter Kopfrechner sieht zwar eine gute Möglichkeit, aber auch ein schlechter Kopfrechner muss nicht verzagen und kann eine der folgenden Methoden anwenden.
Die letzte Variante führe ich hier vor – probieren Sie ruhig einmal eine andere Variante aus.
$\begin{align*}\text{I }\cdot 4=\text{I}_a&&144x+228y&=120\\ \text{II }\cdot 3=\text{II}_a&&141x-228y&=-63\\ \\ \text{I}_a+\text{II}_a&&285x\hphantom{{}+228y}&=57&&|:285\\&&x\hphantom{{}+228y}&=\tfrac 15\\ \\ x \text{ in I }&&36\cdot \tfrac 15+57y&=30&&|-\tfrac{36}{5}\\&&57y&=\tfrac{114}{5}&&|:57\\&&y&=\tfrac 25\end{align*}$
Ein Tipp vorweg: wenn Sie Terme wie $\frac x2$ finden, schreiben Sie sie am besten erst in der Form $\frac 12x$. Die meisten Schüler kommen mit dieser Schreibweise besser zurecht.
Wir schauen uns das folgende System an:
$\begin{align*}\text{I }&&\tfrac 13x-\tfrac 25y=\tfrac 12\\ \text{II }&&\tfrac 12x+\tfrac 13y=\tfrac 16\end{align*}$
Auch hier gibt es im Wesentlichen zwei Methoden:
Da das Prinzip nunmehr klar sein sollte, führe ich die Rechnung nicht aus. Falls Sie das System lösen möchten: die Lösung ist $\left(\tfrac 34\big|-\tfrac 58\right)$.
Dieser Typ ist in der Oberstufe übrigens eher selten; meist hat man es mit ganzen Zahlen als Koeffizienten zu tun.
Bisher haben wir darauf geachtet, beim Multiplizieren verschiedene Vorzeichen zu erzeugen, sodass sich die Terme zu einer Variablen beim Addieren aufheben. Im folgenden Beispiel ist es jedoch sinnvoll, die Gleichungen zu subtrahieren:
$\begin{align*}\text{I }&&4m+b&=5\\ \text{II }&&-2m+b&=2\\ \\ \text{I}-\text{II}&& 6m\hphantom{{}+b}&=3&&|:6\\&& m\hphantom{{}+b}&=0{,}5\\ \\ m\text{ in I}&& 4\cdot 0{,}5+b&=5&&|-2\\ && b&=3\end{align*}$
Erfahrungsgemäß kommt es beim Subtrahieren zweier Gleichungen häufig zu Vorzeichenfehlern (haben Sie an $4-(-2) = 6$ gedacht?), sodass ich diese Methode nur dann empfehle, wenn sie deutlich schneller geht. Das ist oben der Fall, weil eine Variable sofort verschwindet.
Wenn Sie allerdings sowieso multiplizieren müssen, um gleich große Beizahlen zu erzeugen, sollten Sie auch gleich für verschiedene Vorzeichen sorgen. Das verringert die Fehlerquote erheblich.
In der Oberstufe sind Systeme wie oben gar nicht so selten. Typischerweise kommen sie beim Bestimmen von Funktionen vor.
Wie beim Gleichsetzungsverfahren kann auch hier eine wahre oder falsche Aussage entstehen, die entsprechend zu deuten ist. Die Folgerung und die anschauliche Interpretation können Sie dort nachlesen.
Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt
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