Abstand Punkt–Gerade: Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene
Um den Abstand eines Punktes zu einer Geraden im dreidimensionalen Raum zu berechnen, verwendet man in hessischen Grundkursen bevorzugt das Lotfußpunktverfahren. Der Vorteil gegenüber einer Formel liegt darin, dass man gleichzeitig den Lotfußpunkt erhält, also den Punkt auf der Geraden, auf den man zusteuern müsste, um auf kürzestem Weg vom Punkt außerhalb zur Geraden zu kommen. Die Formel dagegen liefert nur die Länge des Weges – manchmal reicht das, aber nicht immer.
Auf dieser Seite wird das Verfahren mit einer Hilfsebene behandelt. Das Verfahren mit einem laufenden Punkt finden Sie hier.
Die Zeichnung veranschaulicht die Vorgehensweise:
Vorgehensweise bei der Berechnung des Abstandes Punkt/Gerade
Erstelle Hilfsebene $H$ durch $P$, die senkrecht auf $g$ steht.
Berechne den Schnittpunkt $F$ (Fußpunkt) von $H$ mit $g$.
Berechne den Abstand $d=\left|\overrightarrow{PF}\right|$.
Beispiel
Gesucht ist der Abstand des Punktes $P(10|5|7)$ von der Geraden $g\colon \vec x=\begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}$.
Da die Hilfsebene $H$ senkrecht auf $g$ stehen soll, bilden die Koordinaten des Richtungsvektors von $g$ die Koeffizienten der Koordinatengleichung von $H$:
$H\colon 4x + y − 3z = d$
Da die Hilfsebene so konstruiert wird, dass sie den Punkt $P$ enthält, muss $P$ die Gleichung erfüllen. Die rechte Seite $d$ wird daher durch Einsetzen der Koordinaten von $P$ bestimmt:
$4\cdot 10 + 5 − 3\cdot 7 = d \quad \Rightarrow \quad 24 = d$
Die Hilfsebene $H$ hat somit die Gleichung $H\colon 4x + y − 3z = 24$.
Für die Berechnung des Schnittpunktes $F$ werden die Koordinaten von $g$ in $H$ eingesetzt. Der Parameter $s$ wird dann wiederum in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Lotfußpunktes zu bestimmen:
$\begin{align*}
4(-2+4s)+(1+s)-3(7-3s)&=24\\
-8+16s+1+s-21+9s&=24 &&\hspace{1em}|+8-1+21\\
26s&=52&&\hspace{1em}|:26\\
s&=2\\
\end{align*}$
$s \text{ in } g: \quad \vec f= \begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\3\\1\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad F(6|3|1)$
Für den Abstand berechnet man erst den Vektor $\overrightarrow{PF}$ und anschließend dessen Länge:
$\overrightarrow{PF}=\vec f-\vec p=\begin{pmatrix}6\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\5\\7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\-2\\-6 \end{pmatrix}$
$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-6)^2}=\sqrt{56}\approx 7{,}48\text{ LE}$
Der Punkt $P$ ist also etwa 7,48 Längeneinheiten von der Geraden $g$ entfernt.
Natürlich kann man die Hilfsebene auch in der Normalenform aufstellen. Ich habe hier die Koordinatengleichung verwendet, da nur diese in hessischen Grundkursen zum Pflichtstoff gehört.
Abstand paralleler Geraden
Sind zwei Geraden $g\colon\,\vec x=\vec p+t\cdot\vec u$ und $h\colon\,\vec x=\vec q+s\cdot\vec v$ parallel, so ist an jeder Stelle die Entfernung gleich groß. Man kann daher auf einer der beiden Geraden einen beliebigen Punkt wählen – am einfachsten verwendet man die Koordinaten des Stützvektors – und den Abstand dieses Punktes zur anderen Geraden berechnen. Der Abstand von $g$ zu $h$ ist also der Abstand von $P$ zu $h$ bzw. von $Q$ zu $g$.