Abstand Punkt–Gerade: Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt

Für den Abstand eines Punktes zu einer Geraden wird in Grundkursen in erster Linie ein Lotfußpunktverfahren genutzt. Auf dieser Seite wird das Verfahren mithilfe eines laufenden Punktes vorgestellt (zum Verfahren mit einer Hilfsebene siehe hier).

Auch im Leistungskurs wird dieses Verfahren häufig angewendet, obwohl langsam die Formel für den Abstand Einzug in den Unterricht hält. Diese lässt sich zwar schneller anwenden, liefert aber nicht den Punkt der Geraden, für den die minimale Entfernung entsteht.

Vorgehensweise: Abstand Punkt–Gerade mit laufendem Punkt

Gegeben ist eine Gerade $g\colon \vec x=\vec p+r\,\vec u$ und ein Punkt $A$, der nicht auf der Geraden liegt. Vom Punkt $A$ aus können wir zu verschiedenen Punkten der Geraden laufen (graue Pfeile), wobei diese Pfeile im Allgemeinen nicht die kürzest möglichen sind.

Abstand Punkt–Gerade: Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt

Der Weg zur Geraden ist dann am kürzesten, wenn der Verbindungsvektor senkrecht auf der Geraden steht, wenn wir also zum Punkt $F$ laufen. Der Vektor $\overrightarrow{AF}$ muss somit orthogonal auf dem Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden stehen, und das wiederum bedeutet, dass das Skalarprodukt den Wert Null haben muss.

Man erstellt allgemein den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AF}$, der zunächst noch den Parameter der Geraden enthält („laufender“ Punkt $F$).
Mithilfe der Orthogonalitätsbedingung $\overrightarrow{AF}\cdot \vec u=0$ berechnet man den Parameter und somit den Fußpunkt $F$.
Der Abstand des Punktes zu der Geraden beträgt $d=\left|\overrightarrow{AF}\right|$.

Beispiel

Aufgabe: Gesucht ist der Abstand des Punktes $A(10|5|7)$ von der Geraden $g\colon \vec x=\begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}$.

Lösung:

Schritt 1: Der allgemeine (laufende) Punkt auf der Geraden hat die Koordinaten $F(-2+4r|1+r|7-3r)$. Damit ergibt sich der Verbindungsvektor
$\overrightarrow{AF}=\vec f-\vec a = \begin{pmatrix}-2+4r\\1+r\\7-3r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\5\\7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix}$.

Schritt 2: Der Verbindungsvektor steht senkrecht auf der Geraden, wenn das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor Null ergibt:

$\begin{alignat*}{3} \overrightarrow{AF}\cdot \vec u&\,=0 & \begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}&\,=0\\ & & (-12+4r)\cdot 4+(-4+r)\cdot 1+(-3r)\cdot (-3)&\,=0\\ & & -48+16r-4+r+9r&\,=0&&\hspace{2em}|+48+4\\ & & 26r&\,=52&&\hspace{2em}|:26\\ & & r&\,=2\\ \end{alignat*}$

Den Wert des Parameters setzen wir in den bisher allgemeinen Punkt ein, um die Koordinaten des gesuchten Lotfußpunktes zu erhalten.

$r=2 \text{ in } F \quad \Rightarrow \quad F(6|3|1)$

Schritt 3: Für den Abstand berechnen wir zunächst den Verbindungsvektor und anschließend dessen Länge:

$\overrightarrow{AF}=\vec f-\vec a=\begin{pmatrix}6\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\5\\7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\-2\\-6 \end{pmatrix}$
$d=\left|\overrightarrow{AF}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-6)^2}=\sqrt{56}\approx 7{,}48\text{ LE}$

Der Punkt $F(6|3|1)$ der Geraden $g$ ist dem Punkt $A(10|5|7)$ am nächsten und hat von ihm eine Entfernung von etwa 7,48 Längeneinheiten.

Während sich zumindest in hessischen Schulbüchern das Lotfußpunktverfahren mit der Hilfsebene findet, kam in einigen hessischen Abiturklausuren das hier beschriebene Verfahren mit einem laufenden Punkt vor, und zwar in der Variante, dass der Prüfling eine vorgeführte Rechnung erläutern und anschaulich deuten soll. Es genügt durchaus, eines der Verfahren aktiv zu beherrschen. Wiedererkennen sollte man jedoch beide.

Übungsaufgaben

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Abstandsberechnungen im R³

Beispiele, Erklärungen

Punkt – Punkt
Punkt – Gerade: Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene
Punkt – Gerade: Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt
Punkt – Gerade: Formel
Punkt – Ebene: Lotfußpunktverfahren
Punkt – Ebene: Formel
Windschiefe Geraden: Formel
Windschiefe Geraden: Lotfußpunkte mit laufenden Punkten
Windschiefe Geraden: Lotfußpunkte mit Hilfsebene

Aufgaben