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Mathematik in der Oberstufe

Lösungen zu den Aufgaben zum Abstand windschiefer Geraden (Lotfußpunktverfahren)

Die Lösungen dienen nur der Selbstkontrolle, sind also nicht so vollständig, dass der hier skizzierte Lösungsweg in einer Klausur oder Hausaufgabe ausreichen würde. Jeweils ein vollständig durchgerechnetes Beispiel zur Abstandsberechnung finden Sie für die Methode der laufenden Punkte hier, für die Methode mit der Hilfsebene hier.

Die möglichen Ergebnisse, die ich für die Hilfsebene angebe, gelten nur, wenn die Gerade $g$ zur Hilfsebene erweitert wird. Wenn man stattdessen $h$ erweitert, dreht sich bei gleichem Normalenvektor das Vorzeichen von $t$ um. In jedem Fall muss für Ihre Lösung gelten, dass das Produkt $t\cdot \vec n$ eventuell bis auf das Vorzeichen mit meiner vorgeschlagenen Lösung übereinstimmt.

    1. Fußpunkte: $F_g(-1|2|2)\quad F_h(3|-2|6)$
      Abstand: $d=\sqrt{4^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{48}\approx 6{,}93\text{ LE}$
      Falls Sie die Methode der laufenden Punkte verwendet haben, sollten sich die Gleichungen $6s-6r=18$ und $14s-6r=26$ ergeben haben. Für die Methode mit der Hilfsebene können Sie $\vec n=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ als Normalenvektor verwenden und müssten dann auf $t=4$ kommen.
    2. Fußpunkte: $F_g(1|3|4)\quad F_h(3|3|2)$
      Abstand: $d=\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{8}\approx 2{,}83\text{ LE}$
      Falls Sie die Methode der laufenden Punkte verwendet haben, sollten sich die Gleichungen $-18r=-18$ und $9s=9$ ergeben haben. Für die Methode mit der Hilfsebene können Sie $\vec n=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ als Normalenvektor verwenden und müssten dann auf $t=2$ kommen.
  1. $g\colon \vec x=\begin{pmatrix}69\\49\\28\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\end{pmatrix} \qquad h\colon \vec x=\begin{pmatrix}50\\81\\12\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}0\\-5\\-1\end{pmatrix}$
    Mit der Methode der laufenden Punkte erhält man die Gleichungen $s-5r=-54$ und $26s-r=144$. Für die Methode mit der Hilfsebene können Sie $\vec n=\begin{pmatrix}5\\2\\-10\end{pmatrix}$ als Normalenvektor verwenden und müssten dann auf $t=1$ kommen.
    Fußpunkte bzw. Start-/Endpunkt der Bohrung: $F_g(45|49|16) \quad F_h(50|51|6)$
    Schachtlänge $\left|\overrightarrow{F_gF_h}\right|=\sqrt{5^2+2^2+(-10)^2}=\sqrt{129}\approx 11{,}36\text{ m}$
    1. $\overrightarrow{RU}=\begin{pmatrix}-3\\8\\-10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\11\\-5\end{pmatrix}$
      $ \left|\overrightarrow{RU}\right|=\sqrt{(-4)^2+11^2+(-5)^2}=9\sqrt{2}\quad \checkmark$
      $\overrightarrow{SU}=\begin{pmatrix}-3\\8\\-10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\8\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\0\\-9\end{pmatrix}$
      $ \left|\overrightarrow{SU}\right|=\sqrt{(-9)^2+0^2+(-9)^2}=9\sqrt{2}\quad \checkmark$
      $\overrightarrow{TU}=\begin{pmatrix}-3\\8\\-10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-6\\5\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\\-12\end{pmatrix}$
      $ \left|\overrightarrow{TU}\right|=\sqrt{3^2+3^2+(-12)^2}=9\sqrt{2}\quad \checkmark$
    2. $g\colon \vec x=\vec r+r(\vec s-\vec r)\quad g\colon \vec x=\begin{pmatrix}1\\-3\\-5\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}5\\11\\4\end{pmatrix}$
      $h\colon\vec x=\vec t+s(\vec u-\vec t) \quad h\colon \vec x=\begin{pmatrix}-6\\5\\2\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}3\\3\\-12\end{pmatrix}$
      Mit der Methode der laufenden Punkte ergeben sich die Gleichungen $-162r=-81$ und $162s=81$. Für die Methode mit der Hilfsebene können Sie $\vec n=\begin{pmatrix}8\\-4\\1\end{pmatrix}$ als Normalenvektor verwenden und müssten dann auf $t=-1$ kommen.
      Fußpunkte: $F_g(3{,}5|2{,}5|-3) \quad F_h(-4{,}5|6{,}5|-4)$
      Den Mittelpunkt von (RS) kann man mit der Vektorkette $\vec m_1=\vec r+\tfrac 12 \overrightarrow{RS}$ oder mit der Formel $\vec m_1=\tfrac 12 (\vec r+\vec s)$ berechnen; entsprechend den anderen Mittelpunkt. Es ergibt sich: $M_1(3{,}5|2{,}5|-3)$; $M_2(-4{,}5|6{,}5|-4)$. Die Mittelpunkte der Kanten stimmen mit den Lotfußpunkten überein.
      Abstand der Kanten: $\left|\overrightarrow{F_gF_h}\right|=\sqrt{(-8)^2+4^2+(-1)^2}=9$

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Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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