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Mathematik in der Oberstufe

Lösungen zu den Aufgaben zum Abstand windschiefer Geraden (Formel)

Ausführliche Lösungswege finden Sie in den Beispielen zu den Artikeln Abstand windschiefer Geraden und Abstand Punkt-Ebene. Aus diesem Grund finden Sie hier zu den Standardrechnungen nur einige wesentliche Zwischenschritte angegeben, aber nicht die vollständige Rechnung.

  1. $\vec u\times \vec v=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-3\\4\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-4\\-3-2\\8+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-5\\14\end{pmatrix}=\vec n$
    $d=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}0\\-4\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix}-2\\-5\\14\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{(-2)^2+(-5)^2+14^2}}=\ldots=\dfrac{63}{15}= 4{,}2\text{ LE}$
  2. Mögliche Gleichung der $y$-Achse: $h:\vec x=t\,\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$
    $\vec u\times \vec v=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0-2\\0-0\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}=\vec n$
    $d=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\1\\2\end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{(-2)^2+0^2+1^2}}=\ldots=\dfrac{10}{\sqrt{5}}\approx 4{,}47\text{ LE}$
    1. Für die Schnittpunktberechnung setzen wir gleich:
      $\begin{alignat*}{5} \text{I} && \hspace{2em}1&& &&\,=5 &&+4s\\ \text{II} && 2&& +r&&\,= a&&-s\\ \text{III} && && r&&\,= 3&&+s\\ \text{I} && -1&& \ &&= \ && s\\ s\text{ in III} && && r&&\,= 3&&-1&&=2\\ r, s\text{ in II} && 2&&+2&&\,= a&&+1\\ && &&3&&\,= a\\ \end{alignat*}$
      Die Geraden schneiden sich für $a=3$. Schnittpunkt:
      $r \text{ in }g:\quad \vec s=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+2\,\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}\quad S(1|4|2)$
    2. $\vec u\times \vec v=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}4\\-1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+1\\4-0\\0-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}=2\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=2\cdot\vec n$
      $d(a)=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}5\\a\\3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\ldots=\dfrac{|2a-6|}{3}$
      oder $d(a)=\left|\tfrac 23 a-2\right|$
    3. Bedingung: $d(a)=4$
      $\begin{align*} \dfrac{|2a-6|}{3}&=4 & &|\cdot 3\\ |2a-6|&=12\\ 2a-6&=12 & & \text{ oder } & 2a-6&=-12\\ 2a&=18 & & & 2a&=-6\\ a_1&=9 & & & a_2&=-3\\ \end{align*}$
      Die Geraden $h_9$ und $h_{-3}$ haben von $g$ den Abstand $d=4\,$.
    4. Bedingung: $d(a)=0$
      $\begin{align*} \dfrac{|2a-6|}{3}&=0 & &|\cdot 3\\ |2a-6|&=0\\ &\vdots\\ a&=3\\ \end{align*}$
      Die Gerade $h_3$ hat von $g$ den Abstand $d=0\,$. Anschaulich bedeutet ein Abstand von Null, dass sich die Geraden schneiden. Das Ergebnis von Aufgabenteil a) wird bestätigt.

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Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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