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Mathematik in der Oberstufe

Aufgaben zum Abstand Punkt-Ebene (Lotfußpunktverfahren)

Die Aufgaben gehören zum Artikel Abstand Punkt-Ebene: Lotfußpunktverfahren.

  1. Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P(10|-1|-4)$ von der Ebene $E\colon 2x-8y+16z=45$.
  2. Gegeben ist die Ebene mit der Gleichung $E\colon \vec x=\begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix} 2\\0\\1\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}$.
    1. Weisen Sie nach, dass $E\colon x-2z=6$ eine Koordinatengleichung dieser Ebene ist.
    2. Berechnen Sie den Abstand des Ursprungs und des Punktes $P(10|2|-3)$ von der Ebene.
    3. Begründen Sie anhand Ihrer Ergebnisse, dass der Ursprung und der Punkt $P$ in verschiedenen Halbräumen (auf verschiedenen „Seiten“ der Ebene) liegen.
  3. Gegeben sind die Punkte $A(4|3|1)$, $B(4|6|4)$, $C(12|4|6)$ und $D(12|1|3)$. Die Punkte bilden in dieser Reihenfolge ein Rechteck (Nachweis nicht erforderlich).
    1. Aufgabe: schiefe PyramideZeigen Sie, dass das Rechteck in der Ebene $E\colon x+2y-2z=8$ liegt.
    2. Vom Punkt $S(4|1|8)$ aus wird das Lot auf die Ebene $E$ gefällt. Berechnen Sie die Koordinaten des Fußpunkts $F$.
    3. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide $ABCDS$.
      (Formel: $V=\tfrac 13\cdot G\cdot h$)
    4. Zeigen Sie, dass der Fußpunkt nicht mit dem Mittelpunkt des Rechtecks übereinstimmt, die Pyramide also nicht gerade ist.
    5. Es gibt zwei gerade Pyramiden $ABCDT_1$ und $ABCDT_2$, die dasselbe Volumen wie $ABCDS$ haben. Berechnen Sie die Koordinaten der Spitzen $T_1$ und $T_2$. Verwenden Sie die Skizze als Hilfe.
  4. Aufgabe: Haus mit rechtwinkligem DachGegeben sind die Eckpunkte $A(0|0|0)$ und $G(10|6|3)$ des abgebildeten Hauses, wobei die Punkte $ABCDEFGH$ einen Quader bilden. Die Dachfläche $GHKL$ befindet sich in der Ebene $E_1\colon y+3z=15$. (1 LE = 1 m)
    1. Der Punkt $L$ soll so gewählt werden, dass die Kante $FL$ möglichst kurz ist. Berechnen Sie die Koordinaten von $L$.
    2. Berechnen Sie den Inhalt beider Dachflächen.

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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