Aufgaben zum Abstand Punkt-Ebene (Lotfußpunktverfahren)

Die Aufgaben gehören zum Artikel Abstand Punkt-Ebene: Lotfußpunktverfahren.

1. Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P(10|-1|-4)$ von der Ebene $E\colon 2x-8y+16z=45$.
2. Gegeben ist die Ebene mit der Gleichung $E\colon \vec x=\begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix} 2\\0\\1\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}$.
   1. Weisen Sie nach, dass $E\colon x-2z=6$ eine Koordinatengleichung dieser Ebene ist.
   2. Berechnen Sie den Abstand des Ursprungs und des Punktes $P(10|2|-3)$ von der Ebene.
   3. Begründen Sie anhand Ihrer Ergebnisse, dass der Ursprung und der Punkt $P$ in verschiedenen Halbräumen (auf verschiedenen „Seiten“ der Ebene) liegen.
3. Gegeben sind die Punkte $A(4|3|1)$, $B(4|6|4)$, $C(12|4|6)$ und $D(12|1|3)$. Die Punkte bilden in dieser Reihenfolge ein Rechteck (Nachweis nicht erforderlich).
   1. Zeigen Sie, dass das Rechteck in der Ebene $E\colon x+2y-2z=8$ liegt.
   2. Vom Punkt $S(4|1|8)$ aus wird das Lot auf die Ebene $E$ gefällt. Berechnen Sie die Koordinaten des Fußpunkts $F$.
   3. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide $ABCDS$.
      (Formel: $V=\tfrac 13\cdot G\cdot h$)
   4. Zeigen Sie, dass der Fußpunkt nicht mit dem Mittelpunkt des Rechtecks übereinstimmt, die Pyramide also nicht gerade ist.
   5. Es gibt zwei gerade Pyramiden $ABCDT_1$ und $ABCDT_2$, die dasselbe Volumen wie $ABCDS$ haben. Berechnen Sie die Koordinaten der Spitzen $T_1$ und $T_2$. Verwenden Sie die Skizze als Hilfe.
4. Gegeben sind die Eckpunkte $A(0|0|0)$ und $G(10|6|3)$ des abgebildeten Hauses, wobei die Punkte $ABCDEFGH$ einen Quader bilden. Die Dachfläche $GHKL$ befindet sich in der Ebene $E_1\colon y+3z=15$. (1 LE = 1 m)
   1. Der Punkt $L$ soll so gewählt werden, dass die Kante $FL$ möglichst kurz ist. Berechnen Sie die Koordinaten von $L$.
   2. Berechnen Sie den Inhalt beider Dachflächen.

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

Teilen Info Bei den "Teilen"-Schaltflächen handelt es sich um rein statische Verlinkungen, d.h. sie senden von sich aus keinerlei Daten an die entsprechenden sozialen Netzwerke. Erst wenn Sie einen Link anklicken, öffnet sich die entsprechende Seite.

↑

Werbung

Abstandsberechnungen im R³

Beispiele, Erklärungen

• Punkt – Punkt
• Punkt – Gerade: Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene
• Punkt – Gerade: Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt
• Punkt – Gerade: Formel
• Punkt – Ebene: Lotfußpunktverfahren
• Punkt – Ebene: Formel
• Windschiefe Geraden: Formel
• Windschiefe Geraden: Lotfußpunkte mit laufenden Punkten
• Windschiefe Geraden: Lotfußpunkte mit Hilfsebene

Aufgaben

• Punkt – Punkt (Lösungen)
• Punkt – Gerade: Lotfußpunktverfahren (Lösungen)
• Punkt – Gerade: Formel (Lösungen)
• Punkt – Ebene: Lotfußpunktverfahren (Lösungen)
• Punkt – Ebene: Formel (Lösungen)
• Windschiefe Geraden: Formel (Lösungen)
• Windschiefe Geraden: Lotfußpunkte (Lösungen)