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Mathematik in der Oberstufe

Gleichsetzungsverfahren (Wiederholung)

Auf dieser Seite werden lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten betrachtet. Der Text ist keine Einführung für die Mittelstufe, sondern soll das Wichtige für die Oberstufe zusammenfassen. Am Ende gibt es einen Hinweis zur anschaulichen Deutung.

Ausgangslage und Lösungsidee

Gegeben sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten $x$ und $y$, die beide nach der gleichen Unbekannten – typischerweise $y$ – aufgelöst sind, also zum Beispiel das folgende System:

$\begin{align*}\text{I}&&y&=2x-9\\\text{II}&&y&=-4x+3\end{align*}$

Gesucht ist ein Zahlenpaar $(x|y)$, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Die linken Seiten sollen übereinstimmen: $y_{\text{I}}=y_{\text{II}}$. Das führt zu der Gleichungskette $2x-9=y_{\text{I}}=y_{\text{II}}=-4x+3$, und somit müssen also auch die rechten Seiten übereinstimmen: $2x-9=-4x+3$. Es entsteht eine Gleichung mit einer Unbekannten (hier $x$), die wir lösen können. Den Wert für die andere Unbekannte können wir dann durch Einsetzen in eine der beiden Ausgangsgleichungen ermitteln.

Die Rechnung führen wir im nächsten Abschnitt durch.

Genau eine Lösung

Wir berechnen die Lösung des Gleichungssystems

$\begin{align*}\text{I}&&y&=2x-9\\\text{II}&&y&=-4x+3\end{align*}$

Gleichsetzen:
$\begin{align*}2x-9&=-4x+3&&|+4x+9\\6x&=12&&|:6\\ \color{#f00}{x}&=\color{#f00}{2}\end{align*}$

$x=\color{#f00}{2}$ in I (oder II): $\color{#1a1}{y}=2\cdot\color{#f00}{2}-9=\color{#1a1}{-5}$

Das Zahlenpaar $(\color{#f00}{2}|\color{#1a1}{-5})$ ist also Lösung des Gleichungssystems.

Übrigens spricht man hier von einer Lösung, denn für $x$ und $y$ gibt es jeweils nur eine Zahl, die das Gleichungssystem löst. Wenn ein Mathematiker von mehreren Lösungen spricht, meint er damit, dass es für ein und dieselbe Unbekannte mehrere Lösungen gibt. Das ist hier aber nicht der Fall.

Um das Gleichsetzungsverfahren unmittelbar anwenden zu können, müssen nur beide Gleichungen nach dem gleichen Term aufgelöst sein.

Auch das folgende System lässt sich wegen $2x=2x$ durch Gleichsetzen lösen:

$\begin{align*}\text{I }&&2x&=3y-5\\ \text{II }&& 2x&=6y-6\end{align*}$

Gleichsetzen:
$\begin{align*}3y-5&=6y-6&&|-6y+5\\-3y&=-1&&|:(-3)\\ y&=\tfrac 13\end{align*}$

Einsetzen in I (oder II):

$\begin{align*}2x&=3\cdot \tfrac 13-5\\2x&=-4&&|:2\\x&=-2\end{align*}$

Das Zahlenpaar $\left(-2\big|\frac 13\right)$ ist (einzige) Lösung des Gleichungssystems. Die Werte werden in alphabetischer Reihenfolge angegeben.

Keine Lösung

Es ist möglich, dass ein System keine Lösung besitzt. Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

$\begin{align*}\text{I }&&y&=\tfrac 12x+3\\\text{II }&& y&=0{,}5x+4\end{align*}$

Gleichsetzen:
$\begin{align*}\tfrac 12x+3&=0{,}5x+4&&|-0{,}5x-3\\0&=1&&\text{ falsche Aussage}\end{align*}$

Die falsche Aussage am Schluss bedeutet, dass es keine Zahl $x$ gibt, die die Gleichung löst, und damit ist das System als Ganzes nicht lösbar. Die Lösungsmenge schreibt man in der Form $\mathbb{L}=\{\,\}$.

Unendlich viele Lösungen

Es ist auch möglich, dass am Schluss eine wahre Aussage entsteht. Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

$\begin{align*}\text{I }&&y&=-\tfrac 14x+3\\ \text{II }&& y&=-0{,}25x+3\end{align*}$

Gleichsetzen:
$\begin{align*}-\tfrac 14x+3&=-0{,}25x+3&&|+0{,}25x-3\\0&=0&&\text{ wahre Aussage}\end{align*}$

Die wahre Aussage am Schluss bedeutet, dass die Gleichung für jedes $x\in \mathbb R$ erfüllt ist. $x$ ist also beliebig wählbar, das zugehörige $y$ wird dann mit der Gleichung $y=-0{,}25x+3$ berechnet. Die Lösungsmenge besteht aus den Zahlenpaaren $\mathbb L=\left\{\big(x\,\big|-0{,}25x+3\big)\,\big|\,x\in \mathbb R\right\}$.

Anschauliche Deutung

Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten kann als Gerade im ebenen Koordinatensystem gedeutet werden. Ein System aus zwei linearen Gleichungen entspricht damit zwei Geraden.

  • Diese zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt, wenn das zugehörige System genau eine Lösung hat.
  • Hat das System keine Lösung, so gibt es keinen gemeinsamen Punkt der beiden Geraden: sie sind (echt) parallel.
  • Hat das System unendlich viele Lösungen, so ist jeder Punkt der einen Geraden auch Punkt der anderen Geraden: die Geraden sind identisch.

Die Graphen finden Sie im Artikel zur gegenseitigen Lage zweier Geraden.

Übungsaufgaben (Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren)

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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