Ableiten mit der Produktregel: Beispiele

Die Beispiele umfassen nur rationale und trigonometrische Funktionen, da die Produktregel meist vor der Einführung weiterer Funktionsklassen behandelt wird. Im Schulalltag – insbesondere in Grundkursen – wird die Regel allerdings am häufigsten im Zusammenhang mit der Exponentialfunktion benötigt, die meist unmittelbar im Anschluss an die Ableitungsregeln eingeführt wird.

Während man bei Summen jeden Summanden für sich ableiten kann, ist dies bei einem Produkt nicht ganz so einfach:

Produktregel

$f(x)=u(x)\cdot v(x)$ $\Rightarrow$ $f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

Wann braucht man die Produktregel?

Salopp formuliert: man braucht sie immer dann, wenn eine Funktion der Form „Term mit $x$ mal Term mit $x$“ vorliegt (wenn die Variable $x$ heißt). Es ist egal, welchen Faktor man als $u(x)$ bzw. $v(x)$ bezeichnet. Wenn nicht ausdrücklich die Produktregel gefordert ist, ist gerade bei rationalen Funktionen vorheriges Umformen allerdings oft einfacher.

Beispiele

$f(x)=(5x^2-3)\cdot (8x^3+2x)$
Für den Anfang schreiben wir die Faktoren heraus und leiten sie getrennt ab:
$\begin{align*}u(x)&=5x^2-3&u'(x)&=10x\\ v(x)& =8x^3+2x& v'(x)&=24x^2+2\end{align*}$
Nun wird in die Produktregel eingesetzt:
$f'(x)=10x\cdot (8x^3+2x)+(5x^2-3)\cdot (24x^2+2)$
Wenn die Aufgabenstellung verlangt, den Term anschließend zu vereinfachen, müssen noch die Klammern aufgelöst werden:
$\begin{align*}f'(x)&=80x^4+20x^2+120x^4+10x^2-72x^2-6\\&=200x^4-42x^2-6\end{align*}$
Bei dieser Aufgabe ist die Frage berechtigt, ob die Anwendung der Produktregel sinnvoll ist. Tatsächlich wäre es einfacher, zuerst die Klammer aufzulösen und dann abzuleiten. Wenn Sie die Wahl haben, sollten Sie dies tun. Wenn Sie aufgefordert werden, die Produktregel zu verwenden, sollten Sie dieser Aufforderung natürlich Folge leisten.
$f(x)=x^5\cdot \frac{1}{x^2}$
Dies ist eins der (unsinnigen) Beispiele, die sich leider immer noch in großer Zahl in Schulbüchern finden, obwohl man mit vorherigem Vereinfachen nach den Potenzgesetzen viel einfacher ableiten könnte. Um mit der Produktregel ableiten zu können, schreiben wir zunächst
$f(x)=x^5\cdot x^{-2}$
und leiten dann ab:
$\begin{align*}f'(x)&=5x^4\cdot x^{-2}+x^5\cdot (-2x^{-3})\\ &=5x^2-2x^2\\ &=3x^2\end{align*}$
Wenn man zuerst vereinfacht, ist weder die Produktregel noch anschließendes Zusammenfassen nötig:
$f(x)=x^3 \;\Rightarrow \; f'(x)=3x^2$
$f(x)=x^2\cdot \sin(x)$
In diesem Fall ist die Produktregel unerlässlich. Die Faktoren sind so einfach, dass man das Ergebnis sofort aufschreiben kann:
$f'(x)=2x\cdot \sin(x)+x^2\cdot \cos(x)$
Zusammenfassen ist hier nicht möglich.
$f(x)=\cos^2(x)$
Dies ist eine Kurzschreibweise für $f(x)=(\cos(x))^2$. Diese Funktion kann man nach der Kettenregel ableiten, aber auch die Produktregel ist möglich, indem man das Quadrat als Produkt von zwei gleichen Faktoren schreibt:
$f(x)=(\cos(x))^2=\cos(x)\cdot \cos(x)$
Nun kommt wieder die Produktregel zum Einsatz:
$\begin{align*}f'(x)&=-\sin(x)\cdot \cos(x)+\cos(x)\cdot (-\sin(x))\\ &=-2\sin(x)\cos(x)\end{align*}$
$f(x)=3\cdot (x^4-4x)$
Dies ist eigentlich kein Fall für die Produktregel, sondern für die Faktorregel, da der erste Faktor nicht von der Variablen $x$ abhängt. Wenn Sie dennoch die Produktregel anwenden, denken Sie daran, dass die Ableitung einer Zahl Null ergibt und in diesem Fall nicht weggelassen werden darf, weil es sich um einen Faktor und nicht um einen Summanden handelt:
$\begin{align*}f'(x)&=\underbrace{\color{#f00}{0}\cdot (x^4-4x)}_{=0}+3\cdot (4x^3-4)\\& =3\cdot (4x^3-4)\\ &=12x^3-12\end{align*}$
$f(x)=-2\cdot x\cdot \cos(x)+\frac 25x^5$
Lassen Sie sich nicht verunsichern: es handelt sich nicht etwa um drei Faktoren, sondern nur um zwei, da der erste Faktor eine Zahl ist. Der erste Summand wird nach der Produktregel abgeleitet ($u(x)=-2x$; $v(x)=\cos(x)$), der zweite „normal“, also einfach nach der Potenzregel:
$\begin{align*}f'(x)&=-2\cdot \cos(x)-2x\cdot (-\sin(x))+2x^4\\ &=-2\cos(x)+2x\sin(x)+2x^4\end{align*}$

Aufgaben zur Produktregel

Gelegentlich wird Produktregel auf drei Faktoren erweitert.

Produktregel für drei Faktoren

$f(x)=u(x)\cdot v(x)\cdot w(x)\;$ $\Rightarrow\;$ $f'(x)=u'(x)\cdot v(x)\cdot w(x)+u(x)\cdot v'(x)\cdot w(x)+u(x)\cdot v(x)\cdot w'(x)$

Jeder der drei Faktoren wird also abgeleitet und mit den beiden ursprünglichen anderen Faktoren multipliziert; diese Terme werden dann addiert.

Herleitung

Wir setzen zunächst Klammern, damit wir nur zwei Faktoren haben, auch wenn der zweite Faktor dabei wiederum ein Produkt ist:
$f(x)=u(x)\cdot \left[v(x)\cdot w(x)\right]$

Dieses Produkt können wir nach der Regel für zwei Faktoren ableiten:
$f'(x)=u'(x)\cdot \left[v(x)\cdot w(x)\right]+u(x)\cdot \left[v(x)\cdot w(x)\right]'$

Der Term $\left[v(x)\cdot w(x)\right]'$ wird ebenfalls nach der Produktregel für zwei Faktoren abgeleitet:
$\left[v(x)\cdot w(x)\right]'=v'(x)\cdot w(x)+v(x)\cdot w'(x)$

Einsetzen:
$f'(x)=u'(x)\cdot \left[v(x)\cdot w(x)\right]+u(x)\cdot \left[v'(x)\cdot w(x)+v(x)\cdot w'(x)\right]$

Jetzt lösen wir die hintere Klammer auf und lassen die überflüssige Klammer im ersten Summanden weg, und schon steht das Ergebnis da:
$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)\cdot w(x)+u(x)\cdot v'(x)\cdot w(x)+u(x)\cdot v(x)\cdot w'(x)$

Beispiel

$f(x)=x^2\cdot \sin(x)\cdot \cos(x)$

Es handelt sich um drei Faktoren, die nicht vorher vereinfacht oder zusammengefasst werden können^[1]. Daher wird die Regel für drei Faktoren angewendet:
$f'(x)=2x\cdot \sin(x)\cdot \cos(x)+x^2\cdot \cos(x)\cdot \cos(x)+x^2\cdot \sin(x)\cdot (-\sin(x))$
Das Ergebnis kann nur unwesentlich kürzer geschrieben werden:
$f'(x)=2x\sin(x)\cos(x)+x^2\cos^2(x)-x^2\sin^2(x)$

Im normalen Schulalltag reicht fast immer die Produktregel für zwei Faktoren. Ableitungen mit drei Faktoren dienen eher der „Technik-Übung“.

^[1]Wer die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen kennt, wird eine Möglichkeit zur Vereinfachung erkennen. In der Schule wird dies jedoch nur sehr selten behandelt.

Aufgaben zur Produktregel

Teilen Info Bei den "Teilen"-Schaltflächen handelt es sich um rein statische Verlinkungen, d.h. sie senden von sich aus keinerlei Daten an die entsprechenden sozialen Netzwerke. Erst wenn Sie einen Link anklicken, öffnet sich die entsprechende Seite.

↑