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Potenzregel, Faktorregel, Summenregel: Lösungen zu den Aufgaben
Nachträglicher Hinweis zu den Aufgabentexten: Je nach Schulbuch und Lehrer werden verschiedene Formulierungen verwendet, die alle das gleiche bedeuten. Mit allen Formulierungen sollten Sie zurechtkommen.
Das gewünschte Aussehen der Ergebnisse hängt dagegen ein wenig vom Lehrer ab. Manche sind mit $x^{\frac 32}$ zufrieden, der nächste möchte $\sqrt{x^3}$ und der dritte vielleicht $x\sqrt x$ sehen.
Einfache Ableitungen
$f'(x)=8x^7$
$f'(x)=-4x^{-5}$
$f'(x)=(n+1)x^n$
$f(x)=x^{-1}$; $f'(x)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$
$f(x)=x^{\frac 12}$; $f'(x)=\frac 12x^{-\frac 12}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$
$f(x)=x^{-\frac 13}$; $f'(x)=-\frac 13x^{-\frac 43}=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$
$f'(x)=3x^5$
$f(x)=6x^{\frac 13}$; $f'(x)=2x^{-\frac 23}=\dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}}$
$f(x)=\tfrac 43x^{-3}$; $f'(x)=-4x^{-4}=-\dfrac{4}{x^4}$
$f'(x)=4x^3+3x^2$
$f'(x)=6x^5+2x-2x^{-3}$
$f'(x)=4-x^{-2}=4-\dfrac{1}{x^2}$
Vermischte Aufgaben
$f'(x)=3x^2+4x-1$
$f'(t)=2t^5-8t^3+10t$
$f'(x)=6ax^2-2a^3x$
$f'(t)=\frac 32at^2-2a^2+1$
$f(x)=9x^2+30x+25$; $f'(x)=18x+30$
$f(x)=x^2+x^{\frac 52}$; $f'(x)=2x+\frac 52x^{\frac 32}=2x+\frac 52\sqrt{x^3}=2x+\frac 52x\sqrt x$
$f(x)=x^3-4x^2+4x$; $f'(x)=3x^2-8x+4$
$f'(x)=\frac{\pi}{4}(2x-4)$
$f'(x)=\dfrac{3x^2+8}{4}=\frac 34x^2+2$
$f(x)=\frac 12 x-2x^{-1}$; $f'(x)=\frac 12+2x^{-2}=\frac 12+\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{x^2+4}{2x^2}$
$f'(x)=\frac 12x^4-12x^2+2$
$f''(x)=2x^3-24x$
$f'''(x)=6x^2-24$
$f'(x)=4ax^3+2bx$
$f''(x)=12ax^2+2b$
$f'''(x)=24ax$
$f'(x)=\tfrac 3t x^2+4x+t$
$f''(x)=\tfrac 6t x+4$
$f'''(x)=\tfrac 6t$
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Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt
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