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Mathematik in der Oberstufe

Brüche ohne Quotientenregel ableiten

Die Quotientenregel ist die aufwendigste der Ableitungsregeln. Doch nicht jede Funktion, die als Bruch gegeben ist, muss mithilfe der Quotientenregel abgeleitet werden. Gelegentlich kann man durch Umformen erreichen, dass man nur die Potenzregel, nur die Kettenregel oder manchmal die Produkt- und Kettenregel anwenden muss. Der letzte Fall ist allerdings eher bestimmten Ausnahmen vorbehalten.

Brüche mit der Potenzregel ableiten

Ein Bruch kann allein mit der Potenzregel abgeleitet werden, wenn im Nenner nur eine Potenz von $x$ steht, die noch mit einem Faktor multipliziert werden darf. Steht im Nenner eine Summe, geht dies nicht mehr.

Beispiel 1: $f(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{4x^2}$

Die Terme werden umgeformt, indem man $x$ mit dem entsprechenden negativen Exponenten in den Zähler holt. Dabei wird grundsätzlich nur die Potenz nach oben geholt, nicht aber der zusätzliche Faktor.
$f(x)=2x^{-1}-\frac 34 x^{-2}$
Nun kann nach der Potenzregel abgeleitet werden:
$f'(x)=2\cdot (-1)x^{-2}-\frac 34 \cdot (-2)x^{-3}=-2x^{-2}+\frac 32 x^{-3}$
Gelegentlich ist es sinnvoll, die Ableitungsfunktion wieder mit positiven Exponenten anzugeben:
$f'(x)=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{2x^3}$

Beispiel 2: $f(x)=\dfrac{4x^2+3x+6}{2x}$

Da nur im Zähler, nicht aber im Nenner eine Summe steht, kann man den Bruch in drei Brüche aufteilen und jeden Bruch für sich kürzen und wie oben umformen.
$f(x)=\dfrac{4x^2}{2x}+\dfrac{3x}{2x}+\dfrac{6}{2x}=2x+\frac 32+3x^{-1}$
Jetzt kann man wieder die Potenzregel anwenden:
$f'(x) = 2 - 3x^{-2}$
Auch dieses Ergebnis kann wieder in der ursprünglichen Form als ein Bruch geschrieben werden, indem man die Potenz mit dem negativen Exponenten als Bruch schreibt und anschließend auf den Hauptnenner bringt.
$f'(x)=2-\dfrac{3}{x^2}=\dfrac{2x^2-3}{x^2}$

Brüche mit der Kettenregel ableiten

Ein Bruch kann allein mit der Kettenregel abgeleitet werden, wenn im Zähler nur eine Konstante steht, also ein Term, der nicht von der Variablen abhängt.

Beispiel 3: $f(x)=\dfrac{4}{(3-x)^2}$

Mehr oder weniger geschieht das gleiche wie oben: die Potenz im Nenner wird in den Zähler geholt, indem man das Vorzeichen des Exponenten umkehrt:
$f(x) = 4\cdot (3 - x)^{-2}$
Da die 4 ein konstanter Faktor ist, reicht allein die Kettenregel – genau genommen in Kombination mit der Faktorregel – aus, um diese Funktion abzuleiten. Die innere Ableitung ist $-1$.
$ f'(x) = 4\cdot (-2)\cdot (3 - x)^{-3}\cdot (-1) = 8(3 - x)^{-3}$
Auch die zweite Ableitung kann also wieder allein mit der Kettenregel erfolgen.
Selbstverständlich kann man das Ergebnis auch ohne negativen Exponenten angeben:
$f'(x)=\dfrac{8}{(3-x)^3}$

Beispiel 4: $f_t(x)=\dfrac{t}{x^2-t^2}$

Im Zähler steht nur ein Parameter $t$, also nicht die Variable $x$. Wir formen um:
$f_t(x) = t(x^2-t^2)^{-1}$
Die Ableitung erfolgt nach der allgemeinen Kettenregel mit der inneren Ableitung $2x$:
$\begin{align*}f_t'(x)&=-t(x^2-t^2)^{-2}\cdot 2x\\ &= -2tx(x^2-t^2)^{-2}\\ &=-\dfrac{2tx}{(x^2-t^2)^{2}}\end{align*}$
Für die zweite Ableitung reicht nun die Kettenregel keinesfalls mehr aus, da auch der Zähler die Variable enthält.

Brüche mit der Produkt- und Kettenregel ableiten

Grundsätzlich gibt es zwei Gelegenheiten, bei denen man die Quotientenregel durch Produkt- und Kettenregel ersetzt: zum einen kann der neue Funktionsterm tatsächlich einfacher abzuleiten sein. Dies ist vor allem in Kombination mit der Exponentialfunktion der Fall.
Zum anderen kann die Quotientenregel schlicht nicht bekannt sein (in hessischen Grundkursen gehört sie nicht zum Pflichtstoff), oder man kommt mit ihr nicht zurecht. Der Ersatz durch Produkt- und Kettenregel mag etwas gewöhnungsbedürftig sein, für Verfechter der Quotientenregel auch leicht umständlich, aber man handelt sich keine schwerwiegenden Nachteile ein.

Beispiel 5: $f(x)=\dfrac{x^2-3}{(4x+2)^2}=(x^2-3)(4x+2)^{-2}$

Da die Kettenregel beteiligt ist, leiten wir die Faktoren zunächst einzeln ab.
$\begin{align*} u(x)&=x^2-3 & u'(x)&=2x\\ v(x)&=(\color{#f00}{4}x+2)^{-2} & v'(x)&=-2(4x+2)^{-3}\cdot \color{#f00}{4}\end{align*}$
Die Multiplikation mit 4 bei $v'(x)$ ergibt sich aus der Kettenregel (lineare Verkettung).
Mit etwas Übung sollten Sie die Ableitung jedoch auch direkt hinschreiben können:
$f'(x) = 2x\cdot (4x + 2)^{-2}+(x^2-3)\cdot (-2)(4x + 2)^{-3}\cdot 4$
Bevor wir weiter umformen, werden erst die negativen Exponenten beseitigt:
$f'(x) = \dfrac{2x}{(4x + 2)^{2}}+\dfrac{(x^2-3)\cdot (\color{#a61}{-2})\color{#a61}{\cdot 4}}{(4x + 2)^{3}}$
Die Ableitungsfunktion soll als ein Bruch dargestellt werden. Daher müssen die Brüche einen gemeinsamen Nenner besitzen. Der Hauptnenner ist $(4x + 2)^3$; also wird der erste Bruch mit $4x + 2$ erweitert:
$f'(x) = \dfrac{2x\cdot (4x+2)}{(4x + 2)^{3}}+\dfrac{(x^2-3)\cdot (\color{#a61}{-8})}{(4x + 2)^{3}}$
Jetzt löst man im Zähler die Klammern auf und fasst zusammen:
$f'(x) = \dfrac{8x^2+4x-8x^2+24}{(4x + 2)^{3}} = \dfrac{4x+24}{(4x + 2)^{3}}$
Man erspart sich mit diesem Weg die Quotientenregel, muss aber die Summanden auf den Hauptnenner bringen. Da der Vorgang sehr schematisch verläuft, stellt dies keinen ernstzunehmenden Nachteil dar.

Beispiel 6: $f(x)=\dfrac{4x+3}{\operatorname{e}^{2x}}$

Dies ist der Fall, bei dem sich die Umformung auf jeden Fall lohnt.
$f(x) = (4x + 3)\operatorname{e}^{-2x}$
Nun wird nach der Produkt- und Kettenregel abgeleitet:
$f'(x) = 4\cdot \operatorname{e}^{-2x}+(4x+3)\cdot \operatorname{e}^{-2x}\cdot (-2)$
Wie bei der Exponentialfunktion üblich wird ausgeklammert:
$\begin{align*}f'(x)&=\left[4 + (4x +3)\cdot (-2)\right]\operatorname{e}^{-2x}\\ &=(4 - 8x - 6)\operatorname{e}^{-2x}\\ &= (-8x-2)\operatorname{e}^{-2x}\end{align*}$

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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