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Mathematik in der Oberstufe

Lage eines Punktes auf einer Geraden

Auf dieser Seite lernen Sie verschiedene Aufgabenstellungen kennen, die sich alle um die Frage drehen, wie sich ein Punkt zu einer Geraden verhält.

Punktprobe

Gegeben sei die Gerade mit der Gleichung $f(x)=\frac 13x+1$. Liegen die Punkte $A(3|2)$, $B(-2|0{,}5)$ und $C\left(32\big|\frac{34}{3}\right)$ auf der Geraden?

Schauen wir uns die Skizze an:

Lage Punkt zu Gerade in der Ebene

Wenn die Zeichnung exakt ist (was auf dem Papier nicht immer sichergestellt ist!), müsste $A$ auf der Geraden liegen und $B$ nicht. Da der Punkt $C$ außerhalb des Zeichenbereichs liegt, lässt sich über ihn keine Aussage treffen.

Wir brauchen also ein Rechenverfahren. Wenn der Punkt $A(\color{#f00}{3}|\color{#1a1}{2})$ auf der Geraden liegt, muss er die Gleichung $\color{#1a1}{y}=f(\color{#f00}{x})=\frac 13\color{#f00}{x}+1$ erfüllen. Für die sogenannte Punktprobe gibt es zwei Methoden, die sich nur geringfügig unterscheiden.

  • Man setzt beide Koordinaten in die Gleichung ein und prüft, ob eine wahre Aussage entsteht. Für $A$:
    $\color{#1a1}{2}=\frac 13\cdot \color{#f00}{3}+1$
    $2=1+1$
    $2=2\quad $ wahre Aussage
    Da eine wahre Aussage entstanden ist, liegt $A$ auf der Geraden. Für $B$ erhält man nach der gleichen Methode dagegen die falsche Aussage $0{,}5=\frac 13$. So ist auch rechnerisch nachgewiesen, dass $B$ nicht auf der Geraden liegt. Dies gilt übrigens auch für $C$. Prüfen Sie dies nach!
  • Man setzt nur die $x$-Koordinate ein und vergleicht mit der gegebenen $y$-Koordinate.
    Für $A$: $f(\color{#f00}{3})=\frac 13\cdot \color{#f00}{3}+1=2=\color{#1a1}{y_A} \; \Rightarrow\; A$ liegt auf der Geraden.
    Für $B$: $f(\color{#f00}{-2})=\frac 13\cdot (\color{#f00}{-2})+1=\frac 13\not=\color{#1a1}{y_B} \; \Rightarrow\; B$ liegt nicht auf der Geraden.
    Für $C$: $f(\color{#f00}{32})=\frac 13\cdot \color{#f00}{32}+1=\frac{35}{3}\not= \color{#1a1}{y_C} \; \Rightarrow\; C$ liegt nicht auf der Geraden.

An dieser Stelle eine kleine Anmerkung zu Brüchen: in der Oberstufe lässt man unechte Brüche üblicherweise stehen und verwandelt sie nicht in gemischte Brüche.

Fehlende Koordinate ermitteln

Gelegentlich ist nur eine Koordinate eines Punktes gegeben; zu bestimmen ist die fehlende Koordinate so, dass der Punkt auf einer vorgegebenen Geraden liegt.

x gegeben, y gesucht

Der Punkt $A(\color{#f00}{22}|\color{#1a1}{y})$ soll so bestimmt werden, dass er auf der Geraden mit der Gleichung $f(x)=2x-3$ liegt. Wenn das der Fall sein soll, muss der Punkt genau wie oben die Gleichung erfüllen:
$\color{#1a1}{y}=2\cdot \color{#f00}{22}-3=\color{#1a1}{41}$.
$A$ hat also die Koordinaten $A(\color{#f00}{22}|\color{#1a1}{41})$.

Dies ist nichts anderes als die Rechnung, die Sie bei Erstellung einer Wertetabelle verwenden: Sie setzen die $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechnen so den Funktionswert ($y$-Wert).

y gegeben, x gesucht

Der Punkt $B(\color{#f00}{x}|\color{#1a1}{5})$ soll so bestimmt werden, dass er auf der Geraden mit der Gleichung $f(x)=4x+3$ liegt.
Nun ist eine Gleichung zu lösen:
$\begin{align*}\color{#1a1}{5}&=4\color{#f00}{x}+3&&|-3\\2&=4\color{#f00}{x}&&|:4\\ \color{#f00}{0{,}5}&=\color{#f00}{x}\end{align*}$
Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten $B(\color{#f00}{0{,}5}|\color{#1a1}{5})$.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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