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Mathematik in der Oberstufe

Was ist eine Funktion?

Bei diesem Artikel gehe ich davon aus, dass Sie zumindest eine ungefähre Vorstellung vom Begriff der Funktion haben (Gerade, Parabel) und es jetzt etwas genauer wissen möchten.

Wenn Sie den Begriff „Funktion“ in einem Mathebuch nachschlagen, finden Sie dort zumeist eine Definition der folgenden Art:

Definition einer Funktion (Version 1)

Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung der Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, wobei jedem Element $a$ der Ausgangsmenge $A$ genau ein Element $b$ der Zielmenge $B$ zugeordnet wird. Schreibweise:
$\begin{align*}f\colon A &\to B\\ a &\mapsto b\end{align*}$

Der Pfeil $\to$ (ohne Strich zu Beginn) bezeichnet dabei die Zuordnung von Mengen, der Pfeil $\mapsto$ (mit Strich zu Beginn) die Zuordnung von Elementen. Manche neueren Schulbücher verzichten auf diese Unterscheidung.

In der Schule betrachtet man meist nur sehr spezielle Funktionen, nämlich solche, die sich durch eine Rechenvorschrift beschreiben lassen. Die Mengen $A$ und $B$ sind hier – bis auf eine noch zu besprechende Einschränkung – die reellen Zahlen $\mathbb R$. Die Elemente der Ausgangsmenge bezeichnet man oft mit $x$, die der Zielmenge mit $y$.

Wenn die Rechenvorschrift besagt, dass eine Zahl quadriert werden soll, so lässt sich dies mit der Zuordnungsvorschrift $f\colon x \mapsto x^2$ ausdrücken. $x$ ist die Variable (selten auch Argument genannt). Den Ausdruck $x^2$ nennt man Funktionsterm.

Für $x = 4$ erhalten wir $f\colon 4 \mapsto 16$: der Zahl 4 wird der Funktionswert 16 zugeordnet. Die einzusetzende konkrete Zahl $x$ heißt Stelle oder auch einfach x-Wert.

In der Schule verwendet man jedoch oft nicht die Zuordnungsvorschrift, sondern die Funktionsgleichung $f(x) = x^2$ (gelesen als „f von x gleich x Quadrat“). Die aus der Mittelstufe bekannte Schreibweise $y=x^2$ erweist sich in der Oberstufe als unpraktisch. Spätestens dann, wenn man es mit mehreren Funktionen zu tun hat, muss man ein Unterscheidungsmerkmal einführen – und was eignet sich da besser als ein (Funktions-)Name? So schreibt man also $f(x) = \ldots$, $\,g(x) =\ldots$ usw.

Auch das Berechnen von Funktionswerten lässt sich mit dieser Schreibweise unmissverständlich darstellen: ist der Funktionswert an der Stelle 4 gesucht, so schreibt man einfach $f(4) = 16$.

Während man in die Funktionsgleichung $f(x) = x^2$ jede beliebige reelle Zahl einsetzen darf, ist dies für $f(x) = \frac 1x$ nicht möglich: die Division (das Teilen) durch Null ist nicht erlaubt! Als Ausgangsmenge $A$ können also nicht alle reellen Zahlen verwendet werden, sondern nur die reellen Zahlen ohne die Null, geschrieben als $\mathbb R \setminus \{0\}$ (der rückwärts gewandte Schrägstrich „\“ bedeutet „ohne“). Dies ist die oben genannte Einschränkung: man kann als Ausgangsmenge nicht immer alle reellen Zahlen verwenden, sondern nur diejenigen, für die die Rechenvorschrift ausgeführt werden kann – für die die Funktion „definiert“ ist. Die Menge dieser Zahlen nennt man Definitionsbereich oder Definitionsmenge und schreibt $\mathbb D$. Wenn man verdeutlichen möchte, dass der Definitionsbereich zur Funktion $f$ gehört, hängt man ein kleines $f$ als Index an: $\mathbb D_f$.

In der Schule versteht man unter einer Funktion also das Folgende:

Definition einer Funktion (Version 2)

Eine Funktion $f$ ordnet jeder reellen Zahl $x$ aus ihrem Definitionsbereich $\mathbb D$ genau eine reelle Zahl $y = f(x)$ zu.

Obwohl die Angabe des Definitionsbereichs somit zur Funktion dazugehört, bekommen Sie in der Schule fast immer nur die Funktionsgleichung und müssen zunächst den Definitionsbereich angeben oder ermitteln.

Zu beachten ist bei dieser Definition noch dreierlei:

  • Man muss zwar jedem Element der Ausgangsmenge ein Element der Zielmenge zuordnen können. Umgekehrt ist es jedoch nicht nötig, dass zu jedem Element der Zielmenge auch ein Element der Ausgangsmenge gehört. Zur Zahl $y = -4$ findet man bei der Funktion $f(x) = x^2$ kein zugehöriges $x$ in den reellen Zahlen.
    Die Menge der $y$ aus der Zielmenge, für die es ein $x$ aus der Ausgangsmenge gibt, nennt man Wertemenge oder Wertebereich. Die Bestimmung des Wertebereichs ist meist schwieriger als die Bestimmung des Definitionsbereichs.
  • Während es zu einem $x$ immer nur ein $y$ geben darf, ist es durchaus erlaubt, dass verschiedene $x$-Werte denselben Funktionswert ergeben: bei unserer Beispielfunktion ist $f(-2) = 4$ und $f(2) = 4$.
  • Die Variable muss nicht $x$ heißen. Grundsätzlich ist jeder Name erlaubt, sofern er nicht schon anderweitig vergeben ist. Nach $x$ wird $t$ am häufigsten verwendet, vor allem bei zeitlichen Prozessen (time).

Zugegeben: dies ist recht trockener Stoff. Auf dieser Seite sollte es jedoch nur um die „Vokabeln“ gehen. Mithilfe eines Graphen kann man eine Funktion auch „sehen“.

Weblink

Auf der Seite mathe-online.at finden Sie einen sehr viel ausführlicheren und dennoch verständlichen Artikel zu diesem Thema.

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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