Definitionsbereich

Salopp formuliert: der Definitionsbereich einer Funktion besteht aus den Zahlen, die man für $x$ einsetzen darf (wenn die Variable wie üblich mit $x$ bezeichnet ist). Aber wie findet man heraus, welche Zahlen man einsetzen darf?

Auf dieser Seite geht es um das prinzipielle Verständnis und allgemeine Regeln auf Grundkursniveau bis zu einfachem Leistungskursniveau (abhängig vom Bundesland).

Was versteht man unter dem Definitionsbereich eines Funktionsterms?

Streng genommen kann man den Definitionsbereich einer Funktion nicht berechnen, sondern muss ihn festlegen: der „Erfinder“ der Funktion kann die einzusetzenden Zahlen beliebig einschränken. Theoretisch kann man jede Zahl quadrieren. Wenn man jedoch als Definitionsbereich die Zahlen $\{-2; 0; 4\}$ festlegt, ist dagegen aus mathematischer Sicht nichts einzuwenden.

Wenn Sie aufgefordert werden, den Definitionsbereich zu bestimmen, ist damit üblicherweise der maximale Definitionsbereich des Funktionsterms gemeint, also alle Zahlen, für die die Rechenvorschrift grundsätzlich ausführbar ist oder – bei Anwendungen – für die die Berechnung sinnvoll ist. Die Wurzel kann man beispielsweise nur aus einer nichtnegativen Zahl ziehen; einen Flächeninhalt wird man nur für positive Seitenlängen berechnen.

Grundsätze

Wenn man den Definitionsbereich einer Funktion ermitteln soll, orientiert man sich an den beteiligten Rechenarten.

Addition, Subtraktion und Multiplikation sind immer möglich.
Die Division durch Null ist nicht möglich. Steht die Variable im Nenner, muss man also genauer hinschauen.
Beim Potenzieren muss man unterscheiden, ob die Variable in der Basis steht ($\color{#f00}{x}^{n}$) oder im Exponenten ($a^{\color{#f00}{x}}$).
- $x^{n}$ ist bei natürlichen Exponenten ($n \in \mathbb{N}_{0} = \{0, 1, 2, \ldots\}$) immer möglich. Eine negative Hochzahl bedeutet Division wegen $x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$, eine gebrochene Hochzahl führt zu einer Wurzel.
- Die Rechnung $a^{x}$ kann für jede reelle Zahl $x$ ausgeführt werden, solange nur die Basis $a > 0$ ist. In der Schule ist dies immer der Fall.
Wurzelziehen ist nur möglich, wenn der Radikand (das ist der Term unter der Wurzel) nicht negativ ist.
Logarithmieren ist nur möglich, wenn das Argument positiv ist („echt“ positiv, also größer und nicht gleich Null).
Trigonometrische Funktionen: $f(x) = \sin(x)$ und $g(x) = \cos(x)$ sind für jedes $x \in \mathbb{R}$ definiert.

Beispiele

$f(x) = 2x^{3} - x^{2} + 1$
Da nur die Rechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Potenzieren mit natürlichen Exponenten vorkommen, ist die Funktion für alle reellen Zahlen definiert: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.
Dies gilt für alle ganzrationalen Funktionen $f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_{1}x + a_{0}$.
$f(x) = (2x + 3)\cdot \operatorname{e}^{-0,5x}$
- $2x+3$ ist ganzrational, also für alle $x \in \mathbb{R}$ definiert.
- $\operatorname{e} \approx 2{,}718$ ist positiv, kann also mit jeder Zahl potenziert werden.
  Der Exponent $-0{,}5x$ ist ganzrational, also für alle $x \in \mathbb{R}$ definiert.
Da die beiden Terme multipliziert werden und jeder der Faktoren für alle $x \in \mathbb{R}$ definiert ist, ist somit die Funktion für alle reellen Zahlen $x$ definiert: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.
$f(x)=\dfrac{x^2+1}{2x+3}$
- Zähler und Nenner für sich gesehen sind jeweils ganzrationale Funktionen, also für alle $x \in \mathbb{R}$ definiert.
- Da man nicht durch Null teilen kann, muss man untersuchen, für welches $x$ der Nenner Null wird:
  $\begin{align*}2x+3&=0&&|-3\\ 2x&=-3&&|:2\\ x&=-1{,}5\end{align*}$
Man kann also alle reellen Zahlen außer $x = -1{,}5$ einsetzen: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-1{,}5\}$.
(Der rückwärts gewandte Schrägstrich „\“ bedeutet „ohne“.)
$f(x) =\sqrt{7 - 2x}$
Die Wurzel kann nur aus nichtnegativen Zahlen gezogen werden:
$\begin{align*}7-2x&\geq 0 &&|-7\\-2x&\geq -7&&|:(-2)\\x&\leq 3{,}5\end{align*}$
Den Definitionsbereich kann man auf verschiedene Weisen angeben:
Mengenschreibweise: $\mathbb{D}_f = \{x \in \mathbb{R} \,|\, x \leq 3{,}5\}$
Intervallschreibweise: $\mathbb{D}_f = ( -\infty ; 3{,}5]$ bzw. $\mathbb{D}_f = ] -\infty ; 3{,}5]$
$f(x)=\dfrac{3}{\sqrt{7-2x}}$
- Für die Wurzel muss wie im vorigen Beispiel $x \leq 3,5$ gelten.
- Der Nenner darf nicht Null sein:
  $\begin{align*}\sqrt{7-2x}&= 0 &&|(\cdots)^2\\7-2x&=0&&|-7;\quad :(-2)\\x&=3{,}5\end{align*}$
Die Bedingungen $x \leq 3{,}5$ und $x \not= 3{,}5$ kann man zusammenfassen zu $x < 3{,}5$.
Mengenschreibweise: $\mathbb{D}_f = \{x \in \mathbb{R} \,|\, x < 3{,}5\}$
Intervallschreibweise: $\mathbb{D}_f = ( -\infty ; 3{,}5)$ bzw. $\mathbb{D}_f = ] -\infty ; 3{,}5[$
$f(x)=\log(4+2x)$
Man kann nur positive Zahlen logarithmieren:
$\begin{align*}4+2x&>0 &&|-4\\2x&>-4&&|:2\\x&>-2\end{align*}$
Mengenschreibweise: $\mathbb{D}_f = \{x \in \mathbb{R} \,|\, x > -2\}$
Intervallschreibweise: $\mathbb{D}_f = (-2; \infty)$ bzw. $\mathbb{D}_f = ]-2; \infty[$
$f(x) = \sin(2x + 1)$
- $2x + 1$ ist als ganzrationale Funktion für jedes $x \in \mathbb{R}$ definiert.
- Der Sinus kann auf jede Zahl angewendet werden, bewirkt also keine Einschränkung.
Damit ist die Funktion für alle reellen Zahlen $x$ definiert: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.

Bei bestimmten Funktionstypen kann die Ermittlung des Definitionsbereich durchaus schwieriger werden. Dies betrifft jedoch vor allem den Leistungskurs und soll nicht in diesem Artikel behandelt werden, sondern zu einem späteren Zeitpunkt bei den entsprechenden Funktionstypen.