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Mathematik in der Oberstufe

Normale und Wendenormale – Basiswissen

Eine Normale ist eine Gerade, die in einem Kurvenpunkt senkrecht auf dem Graphen der Funktion bzw. senkrecht auf der zugehörigen Tangente steht.

Normale und Wendenormale

Zwei Geraden sind orthogonal zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ergibt: $m_1\cdot m_2= -1 \Leftrightarrow m_2=-\dfrac{1}{m_1}$. Anders formuliert: die Steigung der Orthogonalen ist gleich dem negativen Kehrwert der ursprünglichen Steigung.

Das gilt natürlich entsprechend für die Tangente und die Normale: $m_n=-\dfrac{1}{m_t}$. Wenn die Normale an der Stelle $x=x_0$ gesucht ist, geht man daher wie folgt vor:

Ermitteln einer Normalengleichung

  1. Berechne $y_0=f(x_0)$
  2. Berechne $m_t=f'(x_0) \Rightarrow m_n=-\dfrac{1}{m_t}$
  3. Berechne die Normalengleichung durch Einsetzen in $y=mx+b$ oder $y=m_n(x-x_0)+y_0$

Es gibt auch eine „fertige“ Normalengleichung $n(x)=-\dfrac{1}{f'(x_0)} (x-x_0)+f(x_0)$, die sämtliche Rechenschritte in eine Gleichung zusammenfasst. Der Übersichtlichkeit halber ist es jedoch besser, die drei Schritte getrennt durchzuführen, wobei Sie die ersten beiden Schritte vertauschen können.

Beispiel 1

Gesucht ist die Gleichung der Normale an den Graphen von $f(x)=x^3+3x^2+x$ an der Stelle $x=\color{#f00}{2}$.

Lösung

  1. $y_0=f(\color{#f00}{2})=\color{#f00}{2}^3+3\cdot \color{#f00}{2}^2+\color{#f00}{2}=\color{#1a1}{22}$
  2. $f'(x)=3x^2+6x+1$
    $m_t=f'(\color{#f00}{2})= 3\cdot \color{#f00}{2}^2+6\cdot \color{#f00}{2}+1=25$
    $m_n=-\frac{1}{25}=\color{#a61}{-0{,}04}$
  3. Berechnen der Normalengleichung mit $y=mx+b$:
    $\begin{align*}y&=m\cdot x+b\\ \color{#1a1}{22}&=\color{#a61}{-0{,}04}\cdot \color{#f00}{2}+b\\ 22&=-0{,}08+b&&|+ 0{,}08\\ 22{,}08&=b\\ n(x)&=-0{,}04x+22{,}08\end{align*}$

    Berechnen der Normalengleichung mit $y=m_n(x-x_0)+y_0$:
    $\begin{align*}y&=m\cdot (x-x_0)+y_0\\ y&=\color{#a61}{-0{,}04}\cdot (x-\color{#f00}{2})+\color{#1a1}{22}\\ y&=-0{,}04x+0{,}08+22\\ n(x)&=-0{,}04x+22{,}08 \end{align*}$
    Im letzten Schritt erfolgt jeweils die Umbenennung von $y$ in $n(x)$ – ein üblicher Name für Normalengleichungen.
    Natürlich ist es egal, welchen der beiden Lösungswege Sie wählen. Die erste Variante ist aus der Mittelstufe gut bekannt und wird daher meist bevorzugt; die zweite Variante ist jedoch schneller.

Beispiel 2

Gesucht ist die Gleichung der Normale an den Graphen von $f(x)=0{,}5x^3+3x^2+4{,}5x$ an der Stelle $x=\color{#f00}{-1}$.

Lösung

  1. $y_0=f(\color{#f00}{-1})=0{,}5\cdot (\color{#f00}{-1})^3+3\cdot (\color{#f00}{-1})^2+4{,}5\cdot (\color{#f00}{-1})=\color{#1a1}{-2}$
  2. $f'(x)=1{,}5x^2+6x+4{,}5$
    $m_t=f'(\color{#f00}{-1})= 1{,}5\cdot (\color{#f00}{-1})^2+6\cdot (\color{#f00}{-1})+4{,}5 =0$
    Der Kehrwert von 0 existiert nicht!
  3. Sonderfall Normale bei waagerechter Tangente Das Berechnungsverfahren hilft hier zwar nicht weiter, aber die Anschauung. Die Tangente hat die Steigung 0, ist also waagerecht und hat somit die Gleichung $y=\color{#1a1}{-2}$ (die $y$-Koordinate des Punktes). Eine dazu senkrechte Gerade hat immer die Gleichung $x=\text{Zahl}$, in diesem Fall also $x=\color{#f00}{-1}$ (die $x$-Koordinate des Punktes). In der Form $n(x)=…$ kann man die Gerade nicht angeben, da es sich nicht um eine Funktion handelt. Man kann ihr nur den Namen $n$ geben, also $n\colon x=-1$.

Wendenormale

Die Wendenormale ist die Normale im Wendepunkt. Ist also nach der Wendenormale gefragt, muss man erst den Wendepunkt berechnen (oft ist er allerdings schon aus einer vorangegangenen Kurvendiskussion bekannt) und dann wie oben vorgehen.

Als Beispiel berechnen wir die Wendenormale für den Graphen von $f(x)=0{,}5x^3+3x^2+4{,}5x$.

Ableitungen: $f'(x)=1{,}5x^2+6x+4{,}5\\ f''(x)=3x+6\\ f'''(x)=3$

Notwendige Bedingung: $f''(x)=0 \Rightarrow x=-2$
Hinreichende Bedingung: $f'''(-2)=3 ≠ 0 \Rightarrow$ Wendestelle bei $x=-2$
$y$-Wert: $f(-2)=0{,}5\cdot (-2)^3+3\cdot (-2)^2+4{,}5\cdot (-2)=-1$; $W(-2|-1)$
Steigung im Wendepunkt:
$m_t=f'(-2)= 1{,}5\cdot (-2)^2+6\cdot (-2)+4{,}5=-1{,}5\\ m_n=-\dfrac{1}{-1{,}5}=\frac 23$

Führt man das weitere Rechenverfahren wie im ersten Beispiel durch, so erhält man als Normalengleichung $n_w(x)=\frac 23x+\frac 13$.

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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